Quadrats geomàgics
Un quadrat màgic és un caseller de nxn en el que la suma de cada columna, de cada fila i de les dues diagonals és constant. El més clàssic és el de 3x3 amb els nombres de l’1 al 9 i suma constant (o constant màgica) 15. També és molt conegut el quadrat màgic d’ordre 4 que apareix al gravat Melanconia (1514) d’Albrecht Dürer amb els nombres de l’1 al 16 i suma constant 34. Una variant o reestructuració d’aquest el podeu veure a la Façana de la Passió de la Sagrada Familia, realitzat per l’escultor Josep Maria Subirachs, amb suma constant 33.
En un quadrat geomàgic s’incorpora un factor geomètric. Les peces que situem a les caselles poden conformar una mateixa figura agrupant-les per files, columnes o diagonals. Aquesta nova proposta us convidar a indagar en aquest camp i a construir i imprimir els vostres propis quadrats geomàgics.
La majoria de peces dels quadrats geomàgic es poden fer molt fàcilment amb Tinkercad o GeoGebra amb els procediments explicats a les propostes publicades anteriorment. Per aquest motiu en aquesta ocasió no parlarem del procés de disseny.
El web de referència sobre quadrats geomàgics és Geomagic Squares creat pel britànic Lee Sallows. Hi trobarem informació molt completa incloent un estudi matemàtic i una galeria amb 65 exemples diferents.
Quadrats màgics numèrics
Per treballar-los a l’aula és recomanable començar pels quadrats màgics numèrics. El de 3x3 és relativament fàcil de resoldre fins i tot a primària. Per facilitar el tempteig podem treballar amb papers o targetes amb els nombres retallats. A partir de 4x4 són més complicats i pot ser cal donar alguns números col·locats. Podeu trobar diferents tipus de quadrats màgics i algoritmes per construir-los al web Calaix +ie. En aquest web trobareu també un quadrat hipermàgic de 4x4 que té múltiples configuracions de suma constant 34 i un applet per fer proves per trobar-les.
Quadrats geomàgics relacionats amb quadrats numèrics
Un dels quadrats geomàgics de construcció senzilla és el que mostrem a continuació. A la imatge veiem, en primer lloc, la seva relació amb el quadrat màgic numèric. L’àrea de cada peça es correspon amb el nombre del quadrat. També veiem els vuit rectangles de 3x5 que es poden aconseguir on l’àrea dels quals, 15, es correspon amb la constant màgica del quadrat numèric.
Un altre quadrat màgic semblant, però formant un quadrat de 4x4 i deixant un forat interior d’un quadradet és el n. 2 de la galeria de Geomagic Squares.
Aquest altre (n.3) deixa el forat a una cantonada.
Encara hi ha una altra possibilitat. No és difícil construir un quadrat màgic de 3x3 a partir de tres valors numèrics a, b i c qualsevol. La constant màgica serà el triple del nombre que posem al centre. Hi ha diferents formes de fer-ho.
Si, per exemple donem els valors a=12, b=2 i c=16 obtindrem el següent quadrat màgic de suma 36 (3·12).
Una altra possibilitat és la següent:
Podem obtenir el mateix quadrat màgic anterior de suma 36 amb els valors a=12, b=4 i c=6.
A la galeria de Geomagic Squares, amb el número 4, trobem un quadrat geomàgic basat en aquest mateixos nombres.
Buscar combinacions numèriques com aquestes és un primer pas que ens pot ajudar a inventar els nostres propis quadrats geomàgics. Fins i tot, per cercar combinacions numèriques podem preparar un full de càlcul que dissenyi automàticament els quadrats a partir de les fórmules mostrades abans. Tot i així, no és trivial construir les peces a partir de les seves àrees. És tot un problema.
Una variant de quadrat geomàgic relacionats amb nombres és el d’un conjunt de peces que permeten construir vuit pentadecàgons (polígon de 15 costats) amb les fraccions anotades a cada peça. Això ens permet, a la vegada, construir un quadrat màgic numèric. Es pot construir inicialment amb GeoGebra. El MMACA en va fer un retallable per a la XIV Jornada Didàctica Matemàtica d’ABEAM (2011) () amb aquesta proposta.
Altres quadrats geomàgics
La galeria del web de Lee Sallows és una font de models molt completa. En trobarem de 4x4, de peces complementàries, amb diferents polígons com rombes o hexàgons, figures com el triangle de Penrose, figuratius…
Un altre no massa complicat de construir amb el que després poden jugar els alumnes més petits és el següent.
Descàrrega de materials
- Quadrat geomàgic d'un rectangle 3X5.
- Quadrat geomàgic d'un cercle,
- Quadrat geomàgic d'un cub 3x3x3 (n. 52)
- Quadrat geomàgic d'un cub 3x3x3 (n. 61)