Aquesta proposta l’adrecem exclusivament a l’etapa d’Educació Infantil i al Cicle Inicial de primària. En ella us presentem cinc activitats comentades que poden servir d’exemple sobre com treballar diferents estratègies de resolució de problemes en les primeres edats. Complementem la proposta amb un petit text sobre el significat i sentit de la resolució de problemes en aquestes edats.

Una de les associacions dedicades a l’ensenyament de les matemàtiques de més rellevància a nivell mundial és la NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) dels Estats Units. Les quatre primeres activitats són adaptacions d’algunes de la sèrie de quaderns Navigating dedicats a Prekinderdarten-Kindergarten que es correspondrien al nostre parvulari i cicle inicial de primària. El text final sobre resolució de problemes s’ha extret del llibre Principios y estándares para la educación matemàtica que la mateixa NCTM va publicar a l’any 2000.

Activitat 1: Quants cèntims puc tenir?

La situació que es planteja és la següent:

• Tenim unes quantes monedes a la butxaca.
• Hi ha monedes d’1, 2 i 5 cèntims.
• Si traiem 3 monedes, quants diners podem tenir?

Aquesta és una situació fàcilment adaptable a edats i moments de desenvolupament diferents. Us presentem algunes idees sobre com fer aquesta adaptació:

• Comptant amb monedes reals o amb reproduccions, en lloc de fer-ho imaginant.
• Canviant el valor de les monedes, en lloc d’1, 2 i 5 cèntims, poden ser de 10, 20 i 50 cèntims.
• Preguntant quants diners podem tenir si traiem dues monedes en lloc de tres.
• Concretant la quantitat de monedes que tenim a la butxaca, per exemple 10.

L’interès d’aquesta proposta rau en el fet que la resposta no és única. Fàcilment es veu que hi ha més d’una resposta correcte. Altres aspectes que la caracteritzen són la facilitat per a la verbalització compartint els progressos amb els altres, que convida a anotar els resultats per portar el control de resultats diferents tot facilitant fer el pas a fer-ho de manera ordenada per evitar repeticions i, finalment, que es pot conduir tota la situació amb preguntes:

• “Imagina que poses la mà a la butxaca i treus tres monedes. Quants cèntims pots tenir entre les tres?” (sortiran, ben segur, respostes diferents: 1 + 1 + 1 = 3 o bé 1 + 2 + 5 = 8 o també 5 + 5 + 5 = 15). “Encara hi ha més possibilitats?”
• “Ho anotem? Així no ens repetirem”. El fet d’anotar-ho porta a fer un tractament més sistemàtic. Preguntem per exemple: “ posem 1 + 1 + 1 = 3 i 5 + 5 + 5 = 15 junts? Un sota l’altre?” Potser això els fa adonar que falta 2 + 2 + 2 = 6 i no n’hi ha cap més d’aquesta mena. “1 + 2 + 5 = 8, aquest va sol”. “En podem trobar algun més?”. Sortirà el format de dos nombres per exemple 1 + 1 + 2 = 4 o bé 1 + 1 + 5 = 7, etc.
• “Podríem arribar a trobar totes les possibilitats?”
• “Quina és la quantitat més gran que es pot treure?” (5 + 5 + 5 = 15) i “quina és la més petita?” (1 + 1 + 1 = 3).

És una forma d’investigar a l’abast des de ben petits, si es condueix correctament, que mostra una manera d’enfrontar-se a una investigació i donar respostes.

Activitat 2: Quant sumen?

Donada una taula amb icones i nombres s’ha de deduir el valor dels símbols i el resultat de la suma.

L’interès de plantejar aquesta activitat es ajudar a descobrir que sovint quan ens falta una informació la podem deduir a partir d’altres informacions que tenim a l’abast i aquesta és una estratègia molt útil en investigació i resolució de problemes.

Comencem per desxifrar, conjuntament amb els nens, la informació que ens dóna la imatge. L’objectiu és que quedi clar per a tothom, que els símbols iguals tenen el mateix valor i que els nombres de fora de la graella expressen el resultat de la suma en horitzontal i en vertical

En aquesta proposta, no coneixem el valor del triangle ni el del quadrat però al saber que símbols iguals tenen el mateix valor i la suma és sis, i que el quadrat més el triangle val 8, podem deduir el valor de les dues figures i la suma de la segona fila.

Podem conduir l’exploració fent preguntes com:

• “Que veiem a la primer fila?”
• “Què representa el número 6?”
• “I a la primera columna, què creieu que representa aquí el número 8?”
• “I el 7 què representa?”
• “Quina fila o quina columna creieu que ens ajudarà més fàcilment a descobrir el valor del triangle i el quadrat?” (Alguns diuen que la segona columna perquè tenen dues dades numèriques i pensen en 7 – 4 = 3 ; altres veuen més fàcil la primera fila perquè veuen que si els dos triangles tenen el mateix valor i sumen 6, llavors cadascun val 3)
• “Què més hem de fer ara?” (molts diuen que cal buscar el valor del quadrat)
• “Com el podrem trobar?” (cal que articulin correctament la resposta)
• “Llavors, quin és el resultat de sumar la segona fila?”

Mirem ara aquesta nova graella. Pensem estratègies per trobar el resultat de la suma de la segona fila.

Demanem que descriguin les estratègies que vagin pensant. Poden deduir que el quadrat val 4 a partir de restar 7 – 3 o bé de restar 12 - 8. També podrien restar 10 – 2 i al quedar 8 deduir el 4 a partir de saber que 4 + 4 = 8 En aquesta ocasió deixem que ho facin de forma més autònoma.

És important que després de fer una primera investigació guiada, tinguin la oportunitat de fer-ne una altre aplicant allò que abans han descobert. En aquest cas hauran de ser més conscients de com apliquen les estratègies i valorar els coneixements matemàtics que els són útils: suma de dobles, suma i resta com a operacions inverses...

Activitat 3: Sis triangles equilàters

Aquesta proposta porta a investigar amb material, a temptejar explorant com es poden compondre formes a partir d’altres formes. El tempteig, és una estratègia molt útil en investigació. Provar què passa si fem una acció determinada i tenir en compte el resultat per fer l’acció següent es pot fer amb geometria però també amb altres blocs de continguts.

Proposem donar a cada nen 6 triangles equilàters fets, per exemple, amb cartolina. Si són tots del mateix color, els resulta més fàcil veure el resultat de la composició con una sola peça.

Els proposem que juguin amb els triangles buscant maneres de fer figures.

Després d’haver experimentat lliurement es pot demanar que facin totes les formes possibles unint dos triangles per un costat. Sorgirà la discussió sobre si les dues formes de l’esquema són iguals o diferents.

Si hem acordat que són iguals veurem que amb tres triangles també tenim una sola solució.

Després podem continuar amb 4 triangles. Segons l’edat podem deixar el problema obert (trobarem tres solucions) o demanar de forma concreta que “amb els quatre triangles facin un de més gran”. La solució no és evident, sobretot, com hem vist ja amb la de tres, que cal girar un dels triangles. Una manera d’ajudar-los, després que ho intentin i arribin fins allà on puguin, es mostrar-los la imatge perquè vegin que és possible, això potser els suggereix que capgirant el triangle ho podran aconseguir.

Després d’haver-ho aconseguit es pot demanar quantes figures diferents poden fer amb cinc o amb sis. Observar que a banda del triangle i els hexàgons, la resta són quadrilàters i que en diem noms diferents: rombe, trapezi...

Activitat 4: Cotxes de bombers

Els nens estan acostumats a fer patrons amb fitxes de colors, collarets o multilinks. De manera gairebé espontània fan patrons seguint els models: ABABAB..., també AABBAABB..., i ABBABBA...

Si els plantegem un patró, una part del qual està oculta i els demanem que intentin desxifrar quin és el patró els portem a fer suposicions, conjectures, per saber-ho.

Per exemple, podem proposar la següent imatge d’un “parc de bombers” on tenim cinc portes tancades. Demanem que suposin què hi ha darrera de cadascuna de les portes buscant el patró que segueixen els cascs i els camions.

Per poder respondre cal fer conjectures i comprovar-les. L’únic patró que s’adapta a la seqüència incompleta presentada abans és el següent: camió-casc-casc.

La solució de “les portes tancades” és la següent:

Repartim galetes

Proposem una situació en la que hi ha dos nens i unes quantes galetes que volem repartir. Jugant amb el nombre de nens i de galetes es pot adaptar el mateix problema a diferents edats. El què ens interessa, en aquest cas, és que aprenguin a modificar el procés de resolució en funció de les condicions del problema.

Així per exemple podem dir:

“Dos nens tenen 5 galetes i se les volen repartir, com poden fer-ho?”

Encara que no es digui explícitament sovint es sobreentén que cal que es reparteixin de forma que tots dos en tinguin la mateixa quantitat. Si es proposa una quantitat de galetes senar és per veure com resolen una situació més complexa que si és una quantitat parell. Sovint hi ha nens que en donen dues a un i tres a l’altre, i és una solució correcta. Si es demana que ho justifiquin diuen per exemple: “perquè un és més gran que l’altre”, o bé “perquè a un no li agraden gaire”, etc.

Si s’afegeix la condició “reparteix-les de forma que tots dos en tinguin la mateixa quantitat”, s’entra en la possibilitat de pensar en donar-ne dues i mitja a cadascun.

Hem vist fins aquí com un enunciat pot portar condicions que facin que un problema tingui una sola solució, o sigui obert i en permeti altres.

Per focalitzar aquest aspecte, un dels que dirigeix l’estratègia de resolució, es pot pensar altres redactats com ara “dos nens s’han de repartir sis galetes de forma que un en tingui el doble que l’altre”

Estàndard Resolució de problemes per a l’etapa Pre-K2 (NCTM)

El text que podem a continuació és un extracte traduït del llibre Principios y estándares para la educación matemàtica que la mateixa NCTM va publicar a l’any 2000. En ell s’utilitza de forma genèrica com a “resolució de problemes” algunes de les activitats que nosaltres hem qualificat com a “investigacions”. Entre altres aspectes recomana no tan sols plantejar problemes dels diferents blocs del currículum (numeració, geometria...) o que en connectin més d’un dels blocs, sinó també utilitzar com a criteri de tria “problemes que ensenyen a resoldre problemes”, és a dir, que conviden a descobrir o utilitzar estratègies concretes que poden servir en altres situacions.

• Principios y Estàndares para la Educación Matemàtica, (NCTM, 2000)

Resoldre problemes és una característica de l’activitat matemàtica i un medi on desenvolupar coneixement matemàtic. Es tracta de trobar una manera d’arribar a un objectiu, no directament assequible.

Els nens s’enfronten així a les situacions de manera natural, ja que tot és nou per a ells i mostren curiositat, intel·ligència i flexibilitat, davant les situacions noves.

En aquests nivells, el repte consisteix en:

• construir sobre les seves inclinacions innates a resoldre problemes i
• perseverar i estimular aquesta disposició favorable.

Els mestres hauríem d’animar a fer servir les matemàtiques que van aprenent per desenvolupar una àmplia sèrie d’estratègies de resolució de problemes, plantejar-los problemes reptadors i ajudar-los a aprendre a controlar les seves pròpies idees sobre la resolució de problemes i a reflexionar sobre elles.

Com hauria de ser la resolució de problemes en aquests nivells?

En els primers anys la resolució de problemes s’hauria de referir a diversitats de contextos , des de les rutines diàries a les matemàtiques que sorgeixen als contes. Els nens poden tenir nivells diferents i el que per uns pot representar un problema, per altres pot provocar una resposta automàtica.

La resolució de problemes dóna oportunitats per utilitzar i ampliar el coneixement de conceptes de tots els blocs de continguts (classificació, forma, espai, comparació...)

Cal proposar problemes i generar noves preguntes en el context d’un problema. Aquesta és una predisposició que cal cultivar i desenvolupar. Cal aprendre a identificar quina és la informació essencial i organitzar les idees a partir de la informació obtinguda. Els nens són persistents quan els problemes són interessants i suposen un repte.

Sovint hi ha nens que comencen a resoldre el problema d’una manera i abans d’arribar a la solució canvien les estratègies, reconeixent que els cal aprendre més matemàtiques per fer-ho millor.

Resolent problemes s’han de prendre decisions, comunicar idees, veure propostes i contrapropostes, ... i en aquest context es presenten moltes oportunitats d’aprendre matemàtiques noves. La literatura infantil sovint proporciona contextos per a resoldre problemes.

Compartir com s’han resolt un problema dóna l’oportunitat a tots els nens a escoltar idees noves, comparar-les amb les seves, justificar el seu pensament. Veure problemes amb diverses solucions millora l’oportunitat d’aprendre estratègies útils i determinar les que són més flexibles i eficaces. Explicar la pròpia solució a un problema, encara que es presenti dibuixada o en esquema, ajuda a articular el pensament i a fer-lo més precís

Quin hauria de ser el paper del professor en el desenvolupament de la resolució de problemes en aquests nivells?

Les decisions que pren el professor afecten la profunditat i amplitud de l’aprenentatge de la matemàtica dels seus alumnes. Quan es preparen problemes cal tenir clar quines matemàtiques es volen fer aprendre, cal prendre decisions sobre quan demostrar, quan ajudar retro alimentant, de manera que confirmi el que és correcte i identifiqui el que és incorrecte, quan és millor abstenir-se de fer comentaris i programar feines similars i quan utilitzar les discussions de classe per fomentar el pensament matemàtic dels alumnes.

Donar temps per pensar, creure que els alumnes poden resoldre problemes, escoltar atentament les seves explicacions i estructurar un ambient que valori la seva feina, són eines que té el professor per fomentar la resolució de problemes i ajudar a l’alumnat a fer explícites les seves estratègies.

En lloc de tractar aïlladament la resolució de problemes caldria incrustar-la al currículum de continguts matemàtics. Quan els problemes estan integrats al context de treball reconeixen la utilitat de les estratègies. S’haurien d’elegir alguns problemes perquè són apropiats per suggerir estratègies particulars i permeten el desenvolupament de determinades idees matemàtiques. Per exemple ·si tinc a la butxaca monedes de 10, 20 i 50 cèntims i en trec tres, quants diners puc haver tret?” és un problema que té moltes solucions i porta a aprendre a pensar i a registrar el que es va fent.

Avaluar l’habilitat per resoldre problemes dels estudiants és més difícil que avaluar la destresa en càlcul, tanmateix és imprescindible que es cerquin proves, observant i a través de converses dels alumnes, ... i utilitzin aquesta informació per programar una forma d’ajudar-los individualment en el context de la classe. Conèixer els interessos dels alumnes permet al professorat formular problemes que ampliïn el seu pensament matemàtic i reforçar el que ja tenen.

En les aules on els alumnes tenen al seu abast materials manipulables, calculadores, ordenadors, i en les que se’ls anima a utilitzar una amplia sèrie d’estratègies es desenvolupen formes de pensament generadores de múltiples nivells de comprensió.

Els professors haurien de demanar al seu alumnat que reflexionin sobre les seves respostes, les expliquin i les justifiquin, perquè la resolució de problemes no només els porti a la comprensió de conceptes sinó que també els confirmi. Cal tenir present que la resolució de problemes no està reservada als estudiants més grans o per als que ja tenen base. També els petits poden treballar en aquest tema de forma substantiva i al fer-ho desenvolupar destreses bàsiques, habilitats de pensament del més alt nivell i estratègies de resolució de problemes.