El 13 de desembre de 1887 neixia el matemàtic hongarés George Pólya que va treballar en geometria, combinatòria, probabilitat i àlgebra. Però la seva fama ve, sobre tot, dels llibres que va escriure sobre estratègies heurístiques per a la resolució de problemes. Pòlya deia que l'heurística moderna "tracta de compendre el mètode que condueix a la solució de problemes, en particular les operacions mentals típicament útils en aquest procés". Proposava quatre fases en la resolució d'un problema que organitzava amb un sistema interrogatiu. Va morir el 7 de setembre de 1985.

Propostes per a l'aula

• Llegir i comentar algunes cites de Pólya

"Un gran descobriment resol un gran problema, però hi ha una mica de descobriment en la solució de qualsevol problema. El teu problema pot ser modest, però si és un repte a la teva curiositat i posa en joc les teves facultats inventives, i si el resols pels teus propis mètodes, pots experimentar la tensió i gaudir del triomf del descobriment".

"Aquest principi és tan general que no és possible aplicar-lo a cap cas particular".

"La geometria és la ciència del raonaments correctes a partir de figures incorrectes"

"Fantasiejar és imaginar coses que no tens... pot ser dolent igual que massa sal és dolent a la sopa o fins i tot una mica dall en un pastís de xocolata. Vull dir que les fantasies poden ser dolentes si hi ha masses o si estan al lloc equivocat, però poden ser bones por sí mateixes i una gran ajuda a la vida i en la solució de problemes".

• Presentar i comentar el seu pla heurístic de resolució de problemes

• Proposar i resoldre un dels problemes que apareixen als seus llibres. Alguns exemples que poden servir a primària i secundària:

Problema 1: "Partint d'un punt P un ós camina un quilòmetre cap al sud. Canvia llavors de direcció i recorre un quilòmetre cap a l'est. Després gira de nou cap a l'esquerra i recorre un quilòmetre cap al nord per arribar exactament al punt de partida P. De quin color és l'ós?"

Aquest problema té una solució més evident al Pol Nord (per tant l'ós és blanc) però també admet infinites solucions a l'hemisferi sud tenint en compte que els paral·lels són cada vegada més petits. Així pot baixar per un meridià i trobar un paral·lel d'un quilòmetre i tornar a pujar pel mateix meridià ( o de mig quilòmetre i fer dues voltes, o d'una terç de quilòmetre i fer...)

Problema 2: "En Robert té 10 butxaques i 44 monedes d'argent. Vols posar les monedes a les butxaques de forma que cada butxaca contingui un nombre diferent de monedes. Pot fer-ho?".

Problema 3: "Per enumerar les pàgines d'un llibre un tipògraf ha utilitzat 2989 dígits. Quantes pàgines té aquest llibre?"

Propostes per al professorat

Us convidem a llegir el suggerent decàleg del professor que Pòlya va publicar al seu llibre Mathematical Discovery:

• 1. Interessa’t per la teva matèria.

  2. Coneix la teva matèria.

  3. Prova de llegir les cares dels teus alumnes; intenta entreveure les seves expectatives i dificultats; posa’t en el seu lloc.

  4. Adona-te’n que la millor manera d’aprendre alguna cosa és descobrint-la per tu mateix.

  5. Dóna als teus alumnes no només informació, sinó també saber fer, actituds mentals, l’hàbit del treball metòdic.

  6. Deixa’ls aprendre conjecturant

  7. Deixa’ls aprendre a demostrar.

  8. Cerca les característiques del problema actual que poden ser útils per resoldre els problemes futurs – intenta evidenciar l’estructura general que hi ha darrera de la situació concreta actual.

  9. No desvetllis de cop tot el teu secret – deixa que els teus alumnes facin conjectures abans de dir-los-ho – deixa’ls que ho descobreixin per ells mateixos tant com sigui possible.

  10. Suggereix. No inculquis mai per la força.

Per altra banda pot ser interessant llegir un resum de les tècniques heurístiques per a la resolució de problemes ja que ens poden donar idees sobre com ajudar al nostre alumnat contestant les seves preguntes amb unes de noves que l'orientin en la resolució d'un problema:

Pas 1: Entendre el problema.

• • 1. Entens tot el que diu?

    2. Pots replantejar el problema en les teves pròpies paraules?

    3. Distingeixes quines són les dades?

    4. Saps a què vols arribar?

    5. N’hi ha prou informació?

    6. Hi ha informació estranya?

    7. És aquest problema semblant a algun altre que hagis resolt abans

Pas 2: Configurar un pla.

Pots usar alguna de les següents estratègies? (Una estratègia es defineix com un artifici enginyós que condueix a un final).

• • 1. Assaig i error (conjecturar i provar la conjectura).

    2. Usar una variable.

    3. Buscar un patró

    4. Fer una llista.

    5. Resoldre un problema semblant més simple.

    6. Fer una figura.

    7. Fer un diagrama

    8. Usar raonament directe.

    9. Usar raonament indirecte.

    10. Usar les propietats dels nombres.

    11. Resoldre un problema equivalent.

    12. Treballar cap enrere.

    13. Usar casos

    14. Resoldre una equació

    15. Buscar una fórmula.

    16. Usar un model.

    17. Usar anàlisi dimensional.

    18. Identificar submetes.

    19. Usar coordenades.

    20. Usar simetria.

Pas 3: Executar el pla.

• • 1. Implementar la o les estratègies que s'ha triat fins a solucionar completament el problema o fins que la mateixa acció ens suggereixi prendre un nou curs.

    2. Concedir-nos un temps raonable per a resoldre el problema. Si no tenim èxit sol·licitar un suggeriment o deixar el problema a un costat per un moment (potser s'encén el llum quan menys ho esperem!).

    3. No tenir por de tornar a començar. Sol succeir que un començament fresc o una nova estratègia condueixen a l’èxit.

Pas 4: Mirar cap enrere.

• • 1. És correcta la teva solució ? La teva resposta satisfà el que estableix el problema?

    2. Intueixes una solució més senzilla?

    3. Pots veure com estendre la teva solució a un cas general?

Lectures

• • Cómo plantear y resolver problemas de George Pólya (Editorial Trillas)

  • Extracte de capítols de Pòlya (traducció al català d'alguns dels capítols dels seus llibres. En aquest document de 28 pàgines trobareu millor desenvolupades les seves propostes sobreestratègies de resolució de problemes)

  • Els objectius de l'educació matemàtica (transcripció al català d'una conferència de Pòlya referent a l'educació matemàtica a l'educació primària)

  • Planteamiento y resolución de problemas: ¿Es relevante Polya para las matemáticas escolares del siglo XXI? (Article de M.A. (Ken) Clemens a la revista SUMA)

  • Llicència d'Estudis Romà Pujol. Dirigida per en Jordi Deulofeu. UAB

Enllaços

• • Cites de George Pólya

  • Pòlya a la Viquipèdia

  • Pòlya a The MacTutor History of Mathematics archive

  • http://www.xtec.cat/~jjareno/docs_polya.pdf