Polígons encaixables
De materials fets per cares poligonals amb els que formar poliedres n’hi ha de moltes marques i tipus. Des de l’antic plot (amb gomes i cartolines) al polydron, creator, lokon i similars. Aquest material ens permet construir poliedres inusuals, dels que no apareixen a les clàssiques caixes de cossos, però també treballar desenvolupaments plans, mosaics, la relació d'Euler, etc.
Més enllà dels prismes i els poliedres regulars
Una de les possibilitats, com sempre que fem entrar un material a l’aula, és deixar experimentar lliurement i parar atenció a aquelles construccions que puguin aparèixer i que vulguem estudiar a l’aula posteriorment. Especialment piràmides, bipiràmides, antiprismes, cúpules, bicúpules…
Desenvolupaments plans
Un cop construït un poliedre el podem desplegar per veure el seu desenvolupament pla o, millor dit, un dels seus desenvolupaments plans. Veure que un mateix cos pot tenir diferents desenvolupaments és molt interessant. Un cop el tinguem podem plantejar la següent qüestió: si el fem en paper… quin és el mínim de pestanyes que necessitarem? On s’haurien de posar? És un problema que, per a la segona pregunta, també té més d’una solució.
Dos desenvolupaments de l'octaedre
També podem començar al revés: proposar un desenvolupament i mirar si és correcte. Per exemple podem donar sis quadrats i mirar de trobar, de les 35 formes que hi ha d’unir-los per un costat com a mínim, les onze que es tanquen formant un cub. Primer pensant-ho i després fent-ho. O provant uns quants, pensant els altres després i comprovant les conjectures.
Els hexàminos marcats es poden tancar per formar un cub
Per poder veure els 11 desplegaments del cub en 3 dimensions, pots mirar aquestes construccions fetes amb GeoGebra per l'Antoni Gomà.
Amb els més grans podem investigar altres qüestions: Quin perímetres tenen els desenvolupaments d’un mateix poliedre? Quantes arestes s’han de tallar, com a mínim, a un poliedre per poder-lo aplanar?
Comptem cares, arestes i vèrtexs
És una activitat que pot tenir diferents itineraris però que d’una manera o un altra ens poden portar a descobrir la relació d’Euler. És una activitat tant per al CS primària com per a secundària.
Podem començar demanant que construeixin diferents poliedres d’un mateix tipus. Per exemple prismes o antiprismes. Podem construir amb base triangular, quadrada i pentagonal. A l'exemple comencem amb prismes. Els demanem que comptin les cares. Abans de construir un altre amb base hexagonal els preguntem si poden saber quantes cares tindrà i després comprovar-ho (si disposem de peces hexagonals o d’algun model de prisma hexagonal amb un altre material). A continuació podem fer una taula on prediguin la quantitat de cares de qualsevol prisma i demanar una descripció de com ho calculen ( els més grans ho poden expressar amb una fórmula) i per què ho calculen així.
Després podem demanar un recompte semblant amb les arestes. Amb els més petits convé que, d’alguna manera, marquin les arestes comptades. L’objectiu també és buscar una pauta.
Finalment comptarem els vèrtexs. Sempre és important que expliquin l’argumenatció de la forma de comptar ràpidament que apliquin, tot animant a no comptar els vèrtexs (o les cares, o les arestes) d’un en un.
A continuació podem fer una feina semblant amb antiprismes. Aquí hem d’observar (o portar a observar) que de cada costat de cada base surt un triangle.
Una pregunta addicional: com és l’antiprisma de base triangular?
De la mateixa forma ho podem fer amb tot de poliedres que s’inventin: amb piràmides, bipiràmides, poliedres regulars, prismes amb una piràmide a sobre, etc. Només cal mirar que siguin convexos (que qualsevol cara “pugui ser base”). Si anem recollint dades podem fer taules molt completes que recullin, ara sí, només les quantitats de cares, arestes i vèrtexs. Llavors començarem a fer comparacions. Hi ha sempre més arestes que cares? Més arestes que vèrtexs? Més vèrtexs que cares? Observarem que les arestes “sempre guanyen”. Que de vegades tenim més cares que vèrtexs (prismes), de vegades més vèrtexs que cares (antiprismes) i de vegades la mateixa quantitat (piràmides).
Però què passa, tal com ens proposa la gent del PuntMat (Cecilia Calvo i David Barba) i dels que hem agafat tot aquest itinerari, si les cares i vèrtexs “fan un equip”. Veurem que sempre guanyen… i que sempre guanyen per la mateixa diferència: dos. I aquí haurem trobat la relació d’Euler:
Cares + Vèrtexs = Arestes + 2
A partir d’aquí podem investigar si aquesta propietat es compleix en qualsevol tipus de políedre. Per exemple, amb els no convexos o poliedres “amb forats”. A l’exemple tenim un cub foradat que sí que acompleix la propietat.
10 cares, 16 vèrtexs i 24 arestes (10+16=24+2)
Entre els poliedres estrellats podem trobar que sí l’acompleixen i que no. Als poliedres estrellats és complicat definir què són cares, vèrtexs i arestes perquè de vegades és parla de "falses arestes", "falsos vèrtexs"... Nosaltres aquí els comptarem tal com ho hem fet fins ara: una cara és el polígon que veiem, una aresta és la formada per dues cares i un vèrtex el punt de trobada de diferents arestes.
Gran dodecaedre estelat 60 cares, 32 vèrtexs, 90 arestes (60+32=90+2)
Petit dodecaedre estelat 60 cares, 36 vèrtexs, 90 arestes (60+36=90+6)
No és fàcil trobar poliedres “no eulerians”. Pot ser una pregunta d’ampliació. Amb aquest material costen de fer però sí ho podem intentar dibuixant o amb cubets encaixables. A la imatge en tenim un exemple. Aquest cos té 11 cares, 16 vèrtexs i 24 arestes (11+16=24+3)
Deltaedres
Una investigació “exhaustiva” que podem fer és la buscar tots els deltaedres possibles. Un deltaedre és un polígon fet exclusivament amb triangles equilàters. Es poden fer tots amb una quantitat parell de cares entre 4 (el tetraedre) i 20 (l’icosaedre), menys el de 18.
Un cop trobats, a més de descriure cada deltaedre (nombre de cares, vèrtex i arestes, quantitat d’arestes que es troben a cada vèrtex…) podem mirar altres coses. Per exemple, trobar maneres de calcular la quantitat d’arestes (expressant fórmules a secundària). Per exemple, si tenim 16 cares tindrem 48 “costats” de triangles, però com que a cada aresta s’ajunten dos costats, serà la meitat, 24, d’arestes. Amb els vèrtexs hem de mirar quantes arestes s’uneixen a cadascun i quants tenim de cada.
També podem intentar justificar per què el deltaedre de 18 cares no es pot fer.
Poliedres regulars i semiregulars
Un poliedre regular té totes les cares, totes les arestes i tots els vèrtexs iguals (s’hi reuneixen la mateixa quantitat d’arestes). Un poliedre semiregular té totes les arestes iguals (les cares poden ser diferents polígons regulars) i els vèrtexs iguals (s’hi troben a cada vèrtex els mateixos polígons). Podem fer una cerca lliure. Però podem mirar abans la condició inicial necessària: la suma dels angles dels polígons ha de ser menor de 360º, perquè si no no podríem fer un angle a l’espai, ja que amb 360º ens quedaria un “vèrtex pla”.
Aquesta propietat ens pot servir per demostrar que només poden haver-hi cinc poliedres regulars. Ho podem veure en aquest vídeoMAT (2018) de l'INS el Sui de Cardedeu
Però podem deixar experimentar lliurament i veure quines combinacions fan un poliedre i quines no. Veiem alguns exemples.
En aquest enllaç podeu veure tots els poliedres semiregulars (també coneguts com a arquimedians) amb els seus noms i característiques.
Mosaics regulars i semiregulars
En un mosaic regular totes les rajoles són polígons regulars iguals. En un mosaic semiregular podem combinar diferents polígons regulars.
Amb les peces triangulars, quadrades i hexagonals (si en tenim) podem sempre teselar el pla. Amb les pentagonals no. Això es deu a que amb els tres primers polígons podem tancar angles de 360º. Amb els pentàgons no.
De la mateixa manera que hem fet amb els poliedres semiregulars ara podem intentar buscar combinacions de figures que tanquin aquest angle de 360º i fer diferents teselacions. No cal dir que aquesta exploració la podem fer també amb pattern blocks.
GeoGebra en 3 dimensions
Un complement molt interessant a les activitats fetes amb el Lokon o qualsevol material de construcció de poliedres és utilitzar el GeoGebra 3D.
Amb el GeoGebra podem fàcilment construir prismes, piràmides, cubs, cons i cilindres. Podeu seguir uns consells de com entrar en el món del GeoGebra 3D d'en Bernat Ancochea i en Toni Gomà, o seguir un taller que van preparar per unes Jornades de l'Associació Catalana de GeoGebra d'introducció a la construcció 3D.
Es pot treballar amb diferents perspectives, i el més interessant i espectacular és treballar amb 3D amb ulleres d'anàglif, les antigues ulleres d'un ull vermell i un ull blau. Això permet moure les figures a la pantalla de l'ordinador i, si portes les ulleres posades, sembla que la figura surti de la pantalla. Als alumnes els emociona molt.
També podem veure el desplegament d'alguns poliedres de forma dinàmica utilitzant els punts lliscants. Només cal construir el políedre i clicar sobre la icona de desplegament per veure com és, et crea el punt lliscant, i si el mous, veus el procés de desplegament de forma dinàmica.
Finalment, us enllacem a un recull d'applets per treballar amb els materials manipulatius del Laboratori de Matemàtiques.