Continuem la proposta de la quinzena anterior amb idees per treballar la resolució de problemes a partir de contextos històrics. A més de parlar de mesures indirectes, presentarem enllaços a activitats de l'ARC per a secundària, les efemèrides del CREAMAT i altres webs i documents per ampliar informació.

Els exemples per a primària i secundària els presentem barrejats. Per a primària recomanem els exemples referits a les recreacions matemàtiques.

Mètodes antics de mesura

Els mètodes de mesura utilitzats antigament amb ballestes, miralls... són sempre interessants de treballar per la seva relació amb la proporcionalitat geomètrica, l’àlgebra o la geometria. Podeu trobar alguns exemple a la pàgina Calaix +ie. Un d’ells es basa en mesurar altures amb un mirall.

Jocs i recreacions matemàtiques

La recreació matemàtica sempre ha estat present al llarg de la història. Des d’autors “especialistes”, com Alcuí de York amb els seus Propositiones ad acuendos iuvenes o Claude-Gaspard Bachet amb Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres. Però també cal tenir en compte que grans matemàtics van dedicar treballs també a la recreació matemàtica. Com Arquímedes, amb el seu Stomachion o Euler amb els problema dels Ponts de Köningsberg o els dels 36 oficials.

• Quatre problemes d’Alcuí de York

“Un home tenia la necessitat de transportar, d'un vora a una altra d'un riu, un llop, una cabra i una col. I no disposava d'una altra embarcació que no fos una barca en la qual només hi havia plaça per a dos. Sent necessari que tots quedin il·lesos, digui, qui pugui, el mètode que va utilitzar perquè tots arribessin a l'altra riba sans i estalvis”.

“Un pare de família, en morir, va deixar en herència als seus tres fills 30 atuells de vidre amb oli, dels quals 10 estaven plens d'oli, 10 estaven plens fins a la meitat i 10 estaven buits. Dividiu, qui pugui, l'oli i els atuells, perquè els tres fills rebin quantitats iguals tant d'atuells de vidre com d'oli”.

“Hi ha un camp de 150 peus de longitud. En un extrem hi havia un gos, en l'altre una llebre. El gos corria darrera de la llebre perseguint-la. Però mentre el gos avançava 9 peus en cada salt, la llebre només n’avançava 7. Digui, qui vulgui, quants peus recorrerà i quants salts donarà el gos perseguint la llebre que fuig, fins que sigui capturada”.

“Hi ha una escala que té 100 esglaons. Sobre el primer esglaó estava arraulit un colom, sobre el segon esglaó dos coloms, sobre el tercer tres, sobre el quart 4, sobre el cinquè 5, i així fins al centèsim esglaó. Digui, qui pugui, quants coloms havia en total?”.

• Dos problemes de Bachet

“Un mercader tenia un pes de 40 lliures que en caure al terra es va trencar i es va dividir en 4 parts desiguals. Va portar aquests pesos a una balança i va comprovar que cada un tenia un pes que era igual a un nombre enter de lliures i utilitzant-los per pesar va observar que amb aquestes 4 peses podia pesar càrregues d'objectes el pes dels quals fos un nombre enter qualsevol de lliures entre 1 i 40. Quants quilograms pesa cadascuna de les 4 peses?”.

“Dos amics tenen 8 pintes de vi a repartir entre ells en parts iguals. Les tenen en un recipient que conté les 8 pintes exactament i no disposen més que de dos recipients buits de 5 i 3 pintes. Es demana com podran repartir el seu vi no tenim més que aquests tres recipients”.

• Un joc d’endevinació de Leonardo da Pisa

“Si algú tira tres daus a l’aire i tu vols saber i dir-li quants punts té cada dau, digues-li que multipliqui per 2 els punts d’un dau i que a aquest doble li afegeixi 5. Que multipliqui el total per 5 i que afegeixi 10 així com el número de punts del segon dau a aquest producte. Que multipliqui el resultat per 10 i que al producte li afegeixi els punts del tercer dau i que et digui el resultat. Perquè puguis endevinar els punts de cada dau has de restar 350. Llavors les centenes d’aquesta diferència són els punts del primer dau, les desenes són els punts del segon dau i les unitats són els punts del tercer dau”.

Història a l’ARC

A l’ARC, entre altres propostes que també tracten la història de les matemàtiques, podem trobar 9 elements per a secundària creats per Iolanda Guevara en el marc d’una llicència d’estudis (memòria, annexos):

• Els nombres negatius i el zero. Xina, Grècia, Índia, món àrab, Europa (250- 1567)
• Aproximacions al nombre π . El mètode d’Arquimedes per aproximar el nombre π (aprox. 287 a c – aprox. 212 a c)
• El teorema de Pitàgores a la Grècia clàssica. Els elements d’Euclides (300 ac)
• El teorema de Pitàgores a la Xina antiga. El capítol 9 (gou gu) dels nou capítols sobre els procediments matemàtics (s. I)
• La resolució de sistemes d’equacions a la Xina antiga. El capítol 8 (fangcheng) dels nou capítols sobre els procediments matemàtics (s. I)
• La resolució geomètrica d’equacions de 2n grau. Hisâb al-jabr wal-muqqabala de Mohamed Ben-Musa al-Khwârizmî (813)
• El teorema de Menelau. Les esfèriques de Menelau (s. I), la construcció amb GeoGebra (s. XXI)
• Resolució de triangles per mètodes geomètrics i algebraics. De triangulis omnimodis de regiomontanus (1464)

Les efemèrides relacionades amb el naixement o la mort de diferents matemàtics i matemàtiques són una bona excusa per tractar problemes amb els que van treballar. En aquest mateix web hi podeu trobar una secció d’efemèrides acompanyades de propostes didàctiques, tant per a primària com per a secundària. (Veure les efemèrides)

Llistat de matemàtics/matemàtiques

• Zoltan Paul Dienes (21/6 i 11/1)
• Lewis Carroll (27/1 i 14/1)
• Emma Castelnuovo (12/12 i 13/4)
• Pierre de Fermat (17/8 i 12/1)
• Leonhard Euler (15/4 i 18/9)
• Srinivasa Ramanujan (22/12 i 26/4)
• Sophie Germain (1/4 i 27/6)
• George Pólya (13/12 i 7/9)
• Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (9/10 i 26/2)
• Omar Khayyam (18/5 i 4/12)
• Nikolai Ivànovitx Lobatxevski (1/12 i 24/2)
• Ada Byron Lovelace (10/12 i 27/11)
• Galileu Galilei (15/2 i 8/1)
• Christian Goldbach (18/3 i 20/11)
• John Von Neumann (28/12 i 8/2)
• Johannes Kepler (27/12 i 15/11)
• Cristopher Clavius (25/3 i 2/2)
• George Dantzig (8/11 i 13/5)
• David Hilbert (23/1 i 14/2)
• George Boole (2/11 i 8/12)
• Évariste Galois (25/10 i 31/5)

Altres fonts

A més dels llibres i web citats podem trobar altres recursos que relacionen història i matemàtiques.

• Estudis i activitats sobre problemes clau de la Història de la Matemàtica. Per a una aproximació genètica al tractament de les idees matemàtiques. Llicència d’estudis de Ramon Nolla.
• La Història de la Matemàtica com a recurs didàctic i instrument d’integració cultural de la Matemàtica. Llicència d’estudis de Pedro Miguel González Urbaneja (memòria , annexos).
• Web MAA 100 amb imatges i comentaris de documents històrics.
• Aprendiendo matemáticas con los grandes maestros de Vicente Meavilla. Llibre que tracta sobre 19 matemàtics i els problemes en els que van treballar tot incloent propostes per a l’aula (secundària)
• Aspectos históricos de las matemáticas elementales de Vicente Meavilla. Es presenten algoritmes antics que es poden treballar a primària i altres problemes relacionats amb àlgebra, geometria, etc. Més orientats a secundària.