El jocs de tauler i, en concret, els jocs d’estratègia ens ofereixen un marc d’investigació matemàtica magnífic on realitzar investigacions matemàtiques. Un joc d’estratègia no depèn de l’atzar i tots dos jugadors són perfectament coneixedors de l’objectiu del joc i les regles. Per tant disposem tota la informació necessària, si més no teòricament, per contemplar totes les possibilitats del joc i establir si existeix una estratègia òptima per a un dels dos jugadors (guanyar o “no perdre”, fer taules). La proposta d’aquesta quinzena “juga” amb la investigació de jocs.

Algunes consideracions prèvies

En l’aplicació didàctica dels jocs d’estratègia hi ha una primera fase que és ineludible: jugar. D’aquesta manera no només valorem el joc (si ens agrada o no, si és complex o senzill, si les regles han quedat clares o no...) sinó que fem una primera experimentació necessària abans d’atacar l’anàlisi.

En una segona fase estudiarem el joc. Sempre és millor fer-ho en petit grup i “jugant de forma cooperativa”, sense competir, estudiant les possibilitats de les jugades i respostes de cada jugador. L’objectiu, habitualment, és buscar una estratègia guanyadora completa, és a dir, una mena d’instruccions que ha de seguir un dels jugadors per guanyar la partida. Una estratègia ens dirà quina o quines són les jugades inicials i quina o quines respostes s’ ha de donar a cada jugada dels seu contrari. Si seguim la “guia” que ens marca l’estratègia guanyarem la partida. Sovint aquestes estratègies acostumen a ser per al jugador que comença (el 1r jugador) però hi ha jocs on l’estratègia és per al segon o perquè un dels dos faci taules (que sempre és millor que perdre). Per exemple, en el joc clàssic de tres en ratlla que es permet saltar hi ha una estratègia perquè el segon faci taules. Si no es permet saltar pot guanyar el que comença si no s’equivoca en cap jugada.

Quan hem estudiat un joc, si hem arribat a trobar una estratègia completa, podem dir que l’hem “matat” perquè, com a joc, ja no té gràcia: jugarem com robots programats si no volem perdre. Una tercera fase pot ser inventar un joc nou, variant alguna de les regles.

Amb els cursos inicials jugant n’hi ha prou, ja fem moure formes de pensament matemàtic. Segurament és a partir del CM de Primària que podem començar a analitzar estratègies dels jocs més senzills.

En la investigació de jocs podem utilitzar moltes de les estratègies habituals de resolució de problemes: començar des del final (des de les darreres jugades i anar retrocedint), simplificar el problema (reduint el tauler o la quantitat de fitxes, analitzant jugades concretes...), organitzar les dades (fent diagrames d’arbre, taules...), aplicar analogies (partint de l’anàlisi de jocs semblants), tenir en compte simetries (per descartar casos d’estudi, per aplicar-les com a possible estratègia), etc.

A continuació us proposarem una llista de jocs. Hem triat jocs “curts”, de partida ràpida i que no siguin excessivament complexos per tal que es puguin investigar en una o dues sessions. De cada joc indiquem el material necessari i expliquem l’objectiu i regles del joc. En alguns casos donem alguna referència on podem ampliar informació o trobar l’estratègia.

El joc del Golf

• Material: fitxes

• Regles:
  • Es fa una pila de 17 fitxes (poden ser d'un sol color)
  • Cada jugador, alternativament, pot retirar 1, 2 o 3 fitxes
  • Guanya el que “deixa la taula neta”
• Variants: Es pot canviar la quantitat de fitxes inicial o la quantitat de fitxes a agafar a cada jugada
• Per saber-ne més

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

El joc de l’abellot

• Material: Una fitxa i un tauler amb caselles hexagonals (tauler per imprimir)

• Regles
  • Es posa la fitxa a una de les caselles dels extrems del tauler.
  • Cada jugador, alternativament, fa avançar la fitxa a una de les caselles adjacents. No es pot retrocedir.
  • Guanya el jugador que col·loca la fitxa a la casella de l’altre extrem del tauler
  • Per saber-ne més

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

Que xoquem!

• Material: Un tauler com el de l’esquema i dues fitxes de colors diferents (tauler per imprimir)

• Regles
  • Cada jugador pot fer avançar la seva fitxa una o dues caselles
  • Les fitxes no poden saltar ni retrocedir
  • Perd el jugador que no pot moure

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

El Sim

• Material: paper i llapis de dos colors
• Regles
  • Es comença dibuixant una quantitat determinada de punts, per exemple 6, dis posats, més o menys en cercle
  • Cada jugador, alternativament, uneix dos punts amb un segment del seu color
  • Guanya el que tanca un triangle amb els tres costats del seu color i el vèrtexs situats als punts inicials

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

Les dues piles

• Material: 12 fitxes

Regles

• Es fa una pila de 7 fitxes i una altra de 5
• Cada jugador, alternativament, pot fer una d’aquestes dues coses: treure una fitxa d’una de les piles, treure’n una de cada pila
• Guanya el jugador que deixa la “taula neta” (que agafa la darrera o darreres fitxes)
• Variants: canviar la quantitat de fitxes de cada pila
• Per saber-ne més

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

Punts en cercle

• Material: paper i llapis de dos colors
• Regles
  • Es comença dibuixant una circumferència amb 12 punts
  • Cada jugador, alternativament, dibuixa un segment del seu color unint dos punts de la circumferència, que no siguin contigus, però sense tallar cap dels segments ja dibuixats.
  • Perd el jugador que no pot dibuixar un segment acomplint les condicions del joc

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

Posar l’última

• Material: un tauler com el de l’esquema i tres fitxes

• Regles
  • La posició inicial és la que es veu a l’esquema (amb una fitxa a la casella 1, una altra a la 3 i una altra a la 5)
  • Cada jugador mou alternativament una fitxa cap a la dreta tantes caselles com vulgui
  • Una casella pot estar ocupada per més d’una fitxa
  • Perd el jugador que col·loca la darrera fitxa a l'última casella de la dreta (a la casella 6)

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

Ta-te-ti més u

Són moltes les variants del tres en ratlla que ens permeten investigar estratègies diferents. Per exemple el TA-TE-TI BOIG on cada jugador pot tirar creu o rodona quan vulgui o el TRÍPOD, en el que no hi ha caselles privilegiades i totes tenen exactament tres connexions. Podeu descarregar material d'aquests jocs en aquest enllaç i veure un anàlisi en aquest altre enllaç.

Aquesta variant, amb una casella de més, no és massa difícil d’estudiar.

• Material: paper i llapis o tauler i fitxes. Es juga sobre el tauler de l’esquema.

• Regles
  • Cada jugador alternativament juga una fitxa del seu color (o dibuixa “creu” o “rodona”) (tauler per imprimir)
  • Guanya el jugador que alinea tres fitxes del seu color.
  • Si un cop ple el tauler cap dels jugadors a fet “tres en ratlla” hi ha taules.

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

La rajola de xocolata

Atenció: aquest és un pseudojoc. Té la forma aparent d’un joc però, es jugui com es jugui, està predeterminat qui guanyarà. En primera instància convé deixar jugar a l’alumnat per fer observa, en un moment determinat, que sempre guanya el mateix, en aquest el 1r jugador. Després es tractarà de buscar alguna argumentació que expliqui per què passa això.

• Material: Paper quadriculat (tisores) [podem jugar dibuixant o tallant] (taulers per imprimir)

• Regles:
  • Dibuixem un rectangle de 4x7 que representa una rajola de xocolata de 28 onzes
  • El primer jugador talla la rajola en dos trossos de la mida que vulgui però seguint alguna de les línies que separen les onzes
  • A continuació l’altre jugador agafa un dels trossos i el talla també en dos trossos seguint alguna de les línies de divisió
  • Es continua així alternadament
  • Perd el jugador que ja o pot fer cap divisió
• Variants: Canviar la mida de les rajoles i estudiar qui guanya, si el 1r o el 2n jugador

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

L’Hex

D’aquest joc en taulers grans no es coneix l’estratègia guanyadora, encara que en sabem que existeix una pel jugador que comença. En tot cas es poden fer estudis tàctics (petites jugades o situacions de joc) o trobar l’estratègia guanyadora per a taulers més reduïts com el de 7x7 que proposem. És un joc que encara que tingui unes regles molt senzilles té una gran riquesa estratègica.

• Material: tauler i fitxes de dos colors (també es pot jugar dibuixant les fitxes ja que no es mouen) (tauler 7x7 per imprimir)
• Regles
  • Cada jugador col·loca una fitxa del seu color en la casella buida que vulgui.
  • Guanya el jugador que uneix els seus dos camps amb una línia de fitxes del seu color.

Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina

Estratègies

Estratègia del Golf

Una bona manera d’abordar el problema és començant des del final. Es pot observar que si es deixen quatre fitxes al contrari la partida està guanyada perquè sempre deixarà una, dos o tres fitxes perquè es pugui “netejar la taula”. Podrem deixar sempre quatre fitxes al final si abans en deixem vuit, i podrem deixar vuit si abans en deixem dotze. En general les situacions guanyadores les donen els múltiples de quatre. Si la quantitat de fitxes inicials és 17 podem dividir 17 entre 4 i observar que el residu és 1: aquesta és la sortida guanyadora.

Podem resumir l’estratègia guanyadora per al primer jugador així:

• Agafar una fitxa a la primera tirada (deixem 16) fitxes
• A les jugades següents deixar al contrari múltiples de 4 (12, 8, 4)

Es pot generalitzar aquest joc fàcilment a altres quantitat de fitxes inicials o canviant les quantitats de fitxes a agafar. Es pot observar, en el cas d’agafar 1, 2 o 3, si la quantitat inicial de fitxes és un múltiple de 4 l’estratègia és per al 2n jugador.

Una possible modificació del joc a estudiar és fent que el que deixa la taula neta perd la partida. En aquest cas s’ha de modificar lleugerament l’estratègia per deixar una sola fitxa al final.

Estratègia de "l'abellot"

Per analitzar el joc convé començar des del final. Podem marcar quines caselles del tram final són perdedores perquè, si deixem al contrari, "toquen" la casella final i podran posar la fitxa a la casella final.

L’estratègia, en aquest cas per al primer jugador, consistirà en anar posant la fitxa, en el seu torn, en aquestes caselles.

Estratègia del Sim

Una situació de joc interessant per poder guanyar és crear una “doble amenaça” de forma que el contrari pugui evitar tancar un dels triangles possibles però l’altre no.

El primer jugador pot forçar sempre la doble amenaça de la següent manera

• Traça un segment qualsevol
• Com a resposta a la tirada del contrari se l’ha d’obligar a dibuixar un segment que no es toqui amb l’altre que ha dibuixat.
• Al següent torn sempre podrem fer la doble amenaça.

Una possible variació del joc és fer que perdi el que tanca un triangle.

Estratègia de "Les dues piles"

L’estratègia guanyadora consisteix en deixar al contrari sempre una quantitat parell de fitxes a cada pila. Es pot arribar a observar-ho a partir de situacions de joc guanyadores (2,0) (2,2) (4,0) (4,2) etc.

Si la situació inicial és (7,5) la sortida guanyadora serà agafar una fitxa de cada pila i deixar (6,4). A partir d’aquí continuem aplicant l’estratègia que, de forma pràctica, es redueix a repetir la jugada del contrari per poder mantenir la paritat.

Es pot variar el joc canviant la quantitat de fitxes, però l’estratègia no varia.

Estratègia de "Punts al cercle"

En aquest estil de jocs podem aplicar una estratègia on s’aplica la simetria. Podem fer la primera tirada unint dos punts oposats i dividint el cercle en dues zones iguals, amb cinc punts a cada costat. El 2n jugador haurà de dibuixar un segment a una de les dues zones. El primer jugador respondrà dibuixant un segment simètric a l’altra zona. Si es continua procedint així per a cada segment del 2n jugador el primer traçarà sempre l’últim.

Estratègia de "Posar l'última"

Aquest joc és anàleg a un NIM jugat amb 5, 3 i 1 palets. Podem descobrir quatre disposicions bàsiques que porten a guanyar al jugador que la deixa al contrari (en alguns casos d’una es pot passar a una de les altres).

La darrera (3,2,1) la pot aconseguir de sortida el primer jugador movent la fitxa de l’esquerra a l’antepenúltima casella.

Estratègia de la "Rajola de xocolata"

Al final del joc tindrem les 28 onzes (quadrets) separades. Ens calen 27 talls per poder-les separar totes. Al ser una quantitat senar qui faci el primer també farà l’últim. Per tant, es desenvolupi com es desenvolupi el joc guanyarà sempre el que comença. Per això parlem de que és un pseudojoc: la quantitat de quadrets implica la quantitat de talls. Si és una quantitat parell de quadrets guanyarà el que comença, si és senar el segon jugador. Sempre independentment de com es vagin fent els talls.

Estratègia de l'Hex

En aquest joc convé fer descobertes tàctiques a partir de determinades situacions de joc. Per exemple:

• No cal connectar directament dues fitxes. Si les col·loquem com a l’esquema estan connectades (si el contrari “tapa” una casella l’altre pot connectar a la que queda lliure)
• Hi ha una disposició en triangle connecta segur amb la base (sempre podem fer connexions dobles).

Tenint en compte aquesta forma de jugar el primer jugador podrà guanyar si col·loca la fitxa a la casella central del tauler.