El geoplà és, en general, un dels materials més coneguts per treballar en geometria. Però el més generalitzat és el geoplà de malla quadrada (ortogonal). Hi ha altres geoplans com l’isomètric en el que la malla està feta de triangles equilàters sobre el que també es poden fer treballs molt interessants. Moltes de les activitats proposades es poden fer també en una full tramat.

Material:

• Geoplà isomètric virtual (s'ha de triar l'opció de trama isomètrica)
• Trama isomètrica per imprimir

Podem...

Podem començar amb preguntes que ens facin familiaritzar amb la trama triangular:

• Podem fer un triangle rectangle?
• Podem fer un rectangle?
• Podem fer un quadrat?
• Quins tipus de quadrilàters podem fer?
• Es pot fer un hexàgon regular? Per què?
• Si dibuixem tres rombes com a la imatge, quina figura sembla que obtenim?

La darrera pregunta intenta fer veure que el geoplà o la trama isomètrica van molt bé per dibuixar algunes figures tridimensionals, especialment ortoedres.

Com amb el geoplà ortogonal (de malla quadrada) podem planteja problemes de càlcul d’àrees de diferent dificultat. Comparem, sinó, aquest parell de triangles.

Un joc

Al bloc del PuntMat podem trobar un joc de transformació de figures per realitzar amb el geoplà. Es juga amb dos daus i un geoplà. Sortint d’un rombe inicial la tirada de daus ens indica quina transformació hem de fer de la figura.

Les regles estan més especificades al bloc.

Alguns problemes

No té el mateix efecte treballar sobre el geoplà que sobre el paper tramat ja que el geoplà facilita molt més l’experimentació real que el paper. Depenent de l’edat o de les característiques de l’alumnat podem treballar prioritàriament amb un o un altre.

Veiem alguns problemes per a secundària extrets de l’activitat que podeu trobar a l’ARC on es treballen diferents tipus de geoplans:

• Construr el triangle equilàter més petit que es pugui fer en aquest geoplà (o en aquesta trama isomètrica). Per entendre’ns l’anomenarem “triangle unitat”. Construir altres triangles equilàters de diferents mides amb costats paral·lels al triangle unitat, com els següents:

Per a cadascun d’aquests altres triangles es poden fer les dues comparacions següents:

- El costat del triangle quantes vegades és més gran que el costat del triangle unitat?

- L’àrea del triangle quantes vegades és més gran que l’àrea del triangle unitat?

• Es pot construir un triangle equilàter que tingui una àrea més gran que l’àrea del triangle unitat però més petita que quatre vegades aquesta àrea?

• Es pot deduir, en funció de l’àrea del triangle unitat, l’àrea del triangle equilàter següent? (Solució al final de la pàgina)

• Construir l’hexàgon regular més petit que es pugui en aquest geoplà (o en aquesta trama isomètrica). Per entendre’ns l’anomenarem “hexàgon unitat”. Construir un nou hexàgon regular però tal que els seus costats tinguin longitud doble que els de l’hexàgon unitat. Quantes vegades es pot posar l’hexàgon unitat dins d’aquest nou hexàgon? Construir-ho.

• Es pot construir un quadrilàter tal que sobre el seu contorn hi hagi 8 punts del geoplà (o de la trama) i en el seu interior n’hi hagi 18? (Solució al final de la pàgina)

Tal com hem vist aquesta trama es idònia per treballar representacions d’objectes tridimensionals. Així podem proposar activitats com aquestes.

• Amb les peces per formar policubs, com si fóssim constructors/es que hem de seguir un plànol d’obra. Construir els policubs que es representen tot seguit:

• Ara ho farem a l’inrevés. Es tracta de representar sobre el geoplà isomètric (o el tramat isomètric) una visió en perspectiva dels següents policubs que, si us pot resultar més còmode, podeu construir prèviament amb les peces que teniu.

Un applet que ens pot ajudar

A la web Illuminations trobem un applet que ens pot ajudar a fer aquest darrer treball. Tenim línies, rombes i cubs per fer els dibuixos i, entre les diferents eines torbem una (simbolitzada amb un ull) que ens permet veure i manipular en 3D les figures dibuixades a la xarxa isomètrica.

Solucions als dos problemes

• Es pot deduir, en funció de l’àrea del triangle unitat, l’àrea del triangle equilàter següent?

L'àrea total és de 7 unitats

• Es pot construir un quadrilàter tal que sobre el seu contorn hi hagi 8 punts del geoplà (o de la trama) i en el seu interior n’hi hagi 18?

Aquí tenim una de les solucions possibles. Es poden fer variants d'aquest problema .