La paraula exhaustiu ve a significar, etimològicament, “extreure fins a l’esgotament”. Hi ha petites investigacions matemàtiques que demanen, en la pregunta, o que necessiten, en la resolució, la cerca exhaustiva de totes les possibilitats, de tos els casos que el problema proposa. La proposta d’aquesta quinzena presenta diferents problemes en aquesta línia.

En molts d’aquests problemes serà diferent demanar “quins” (que ens portarà a fer cerca exhaustiva) que “quants” (que en convidarà a buscar mètodes de recompte). Però sovint no podrem contestar el “quants” si no hem experimentat abans amb el “quins”, ja que aquesta experimentació prèvia ens ajudarà a descobrir dreceres de resolució. La cerca completa de casos també apareix en molts problemes relacionats amb la combinatòria i les probabilitats i que es poden abordar sense l’ús de fórmules i molt abans d’un estudi més formal de la combinatòria.

Per altra banda són activitats molt propícies per treballar en petit i gran grup per fer una cerca col·laborativa, per discutir les similituds i diferències de les troballes, etc.

Si mireu altres propostes d’investigació que hem fet altres quinzenes també hi trobareu altres problemes que conviden a la cerca exhaustiva.

Patrons i formes

Aquesta és un activitat adreçada, principalment, a educació infantil i CI de primària. Es poden donar, de sortida, dues parelles de figures inicials o de cubets encaixables de colors diferents. A continuació demanarem que formin tots els patrons diferents que es puguin aconseguir i que, amb més peces similars, continuïn el patró.

Per exemple, si donem dos quadrats vermells i dos verds podem obtenir quatre patrons diferents.

Si formem les sèries corresponents es poden discutir si aquestes dues sèries són diferents i fer argumentar el per què de la seva diferència.

Aquesta investigació és pot ampliar després a tres formes, quatre...

Una altra possibilitat és investigar quantes “formes” diferents podem obtenir amb quatre cubets encaixables, o cinc... sense tenir en compte el color. A la imatge podem veure les cinc solucions per a quatre cubets. Serà molt interessant discutir a classe si grups de peces amb diferent orientació son o no “formes” diferents.

Podeu trobar una proposta semblant al blog Al nostre ritme tot fent edificis amb peces de Lego.

Posteriorment podem treballar amb altres figures. Per exemple, de quantes maneres podem ajuntar quatre triangles equilàters unint-los per un costat? I cinc?

Patrons i formes

Una possibilitat d’investigació és jugar amb els nombres. Per exemple, quantes sumes diferents podem fer que donin 5?

Aquest problema, a mesura que es van fent grans els nombres es va complicant força. Va ser estudiat pels matemàtics Hardy i Ramanujan i la història de la investigació d'aquest problema, amb aquests matemàtics com a protagonistes, apareix a la novel·la El contable hindú de David Leavitt i a la pel·lícula El hombre que conocía el infinito de Matthew Brown. Podeu trobar més informació sobre el problema en aquest enllaç. 

Una adaptació contextualitzada d’aquest problema la podem veure en aquest vídeo de 1r de primària de l’Escola Garbí Pere Vergès de Badalona, guanyador del vídeoMAT 2015, on es plantegen “De quantes maneres podem pagar l'entrada per anar al cinema?”.

Una altra opció és demanar-se quants productes diferents hi ha de dos nombres que donin 12. O de tres nombres? Aquesta proposta es pot relacionar amb àrees i volums... o bé amb la cerca de divisors d’un nombre.

També podem proporcionar unes targetes amb nombres i signes d’operacions i demanar que es construeixin totes les operacions possibles.

Per exemple

Al blog del PuntMat podem trobar una proposta comença fent investigar investigar totes les possibles restes donats quatre nombres.

Combinar

Hi ha molts problemes relacionats amb la combinatòria que es poden resoldre perfectament a la primària i a l’inici de la secundària fent cerca exhaustiva de casos i després descobrint formes més econòmiques de fer un recompte. En molts casos descobrirem el paper que juga la multiplicació. També podem utilitzar taules i diagrames en arbre per la cerca de casos.

Per exemple podem fer aquesta investigació: “La combinació del meu cadenat té aquests tres nombres: 1, 4 i 9, però ara no recordo en quin ordre van. Quantes proves hauré de fer”. O bé problemes del tipus de combinar robes, gustos de gelat, ingredients... Per exemple: “Quants gelats diferents podem fer amb tres gustos: xocolata, maduixa i vainilla?”. Podem fixar la quantitat de boles (1, 2 o 3) o deixar la possibilitat de comptar-ho tot. La diferència entre el problema del cadenat i el dels gelats és que en el primer importa l’ordre i en el segon no.

També podem aprofitar llibres existents al mercat on es combinen terços o quarts de cares, terços d’animals... per comptar quantes possibilitats tenim.

Podeu trobar propostes d’aquest estil a l’activitat Combinar i comptar del Blog del Calaix +ie.

Podem tenir en compte diferenciar problemes en els que no hi hagi repetició, com els anteriors, o en els que aquesta repetició existeix. Per exemple: “Diem que un nombre té «aspecte senar» si totes les seves xifres ho són, com 3595. Quants nombres d’aspecte senar hi ha de tres xifres? I de quatre”

Els jocs amb cartes són un bon material per experimentar amb aquests recomptes.

Problemes de camins 

Els problemes d’explorar i comptar tots els camins possibles diferents també poden ser interessants.

“Quants camins diferents hi ha per anar de la ciutat A a la ciutat D?”

Un altre problema clàssic consisteix en estudiar, en el context que vulguem (per exemple a l’Eixample de Barcelona), quants camins hi ha entre dos punts d’una ciutat quadriculada. Després de fer la cerca de camins podrem descobrir un altre mètode que ens permet comptar-los i que utilitza el triangle de Pascal. En el cas de la imatge es tracta d’explorar tots els camins diferents, sense retrocés, que hi ha entre A i B. Cal observar que inicialment no tots els alumnes veuen que els camins són iguals de llargs (de 7 “carrers”).

Al web NRICH podem trobar altres variants interessants.

• Els cargols “Per quants camins diferents pot anar el cargol A per trobar-se amb el B tenint en compte que camina per les ranures entre els mahons?” 

• El grill “Un grill es mou per les línies del pati saltant una o dues rajoles. Fins i tot, si s’esforça pot saltar-ne 3. A l’exemple de la imatge arriba a casa en 4 salts (1-2-2-1). Pots trobar un camí per fer-ho en tres salts? Pots trobar tots els camins diferents que hi ha per fer-ho en tres salts?”

• Octaespai “En el sistema planetari Octa els planetes estan disposats en la forma d'un octàedre. Les principals rutes espacials segueixen les arestes d'aquesta forma. Quantes rutes diferents es podrien triar per arribar des del Planeta A al Planeta Zargon, sense visitar cap planeta més d'una vegada?”

Dissenys

Fer dissenys a partir de mòduls i instruccions donades també convida a investigacions exhaustives. Posem com a exemples dues activitats, també del web NRICH. És interessant veure l’expressió que apareix en el primer enunciat: explorar sistemàticament. Així se’ns convida a seguir un determinat ordre per no deixar-nos casos.

“Exploreu sistemàticament la gamma de dissenys simètrics que es poden crear ombrejant els quadrats sencers de la quadrícula de sota”

Aquest altre problema convida a dividir un “apartament” d’habitacions petites (1x1) en habitacions dobles (1x2) i fer-ho de diferents formes. Per exemple, una apartament de 6 habitacions (2x3) es pot dividir d’aquestes formes.

L’activitat proposa investigar apartament de 2x4, 2x5, 3x4, 4x4...

Una altra activitat de “disseny” una mica més complexa es basa en construir totes les formes possibles amb llumins (3, 4, 5...) però que siguin topològicament diferents. Per exemple, aquests dissenys amb tres llumins tenen formes topològicament diferents.

Però aquestes, fetes amb 3, 4 i 6 llumins són topològicament equivalents perquè tenen “tres braços”.

Podeu trobar l’activitat completa en aquest enllaç.

Una altra activitat de disseny exhaustiu molt interessant la trobem al web del PuntMat . A partir d’un problema Pisa del 2006 on se’ns mostren només dues vistes laterals d’una construcció feta amb blocs s’investiguen totes les solucions possibles, fins i tot, amb un applet es poden investigar solucions amb “blocs flotants”.

Exemples de solucions:

En aquesta investigació també podem buscar quina és la solució que utilitza més cubs i la que utilitza menys.

Al web Transum podem trobar un applet que ens permet explorar de forma interactiva la següent situació: tenim una T feta amb 5 quadrats. Tenim tres colors per pintar (vermell, groc i blau). Dos quadrats que comparteixen costat no poden tenir el mateix color. Per ser del "Club de la T" la forma de pintar-la ha de ser única. Quants membres pot tenir el club?

Geoplans

Al mateix blog del PuntMat esmentat abans podem trobar alguns exemples de cerca exhaustiva amb l’ús del Geoplá.

“Quants triangles diferents podem fer a un geoplà de 3x3? I quants quadrilàters?” “Quants triangles d’àrea 3 podem trobar en un geoplà de 5x5? I quants paral·lelograms?”

També conviden a investigar els triangles o quadrilàters possibles en un geoplà circular.

Exhaustió per argumentar o “demostrar”

De vegades comptar tots els casos possibles ens pot servir per argumentar les solucions d’alguns problemes. Posarem tres problemes d’exemple.

• Triangles numèrics

Podem donar quatre nombres inicials i buscar, fent una piràmide de sumes, quin és el nombre més gran que podem obtenir. Una forma d’estar segurs de que hem obtingut el resultat més gran és provar de trobar totes les solucions. Això ens permetrà també parlar de solucions mínimes i màximes.

• Segells

“Tenim quatre segells en blanc disposats en un quadrat de 2x2. Podem posar els valors que vulguem a dins de forma que d’un en un, o de dos en dos enganxats per un costat, o de tres en tres també enganxats per un costat, o amb tots quatre puguem fer diferents franqueigs des d’1 € fins... el nombre més gran que puguis. En aquest exemple podem fer franqueigs d’un fins a nou euros.”

Si investiguem el problema descobrirem que la solució màxima permet franquejar des d’1 fins a 13 €. Però com podem assegurar que 13 és el nombre més gran? Buscant les combinacions que hi ha per a un segells, per a dos, per a tres i per a quatre. Observarem que només hi ha 13 possibilitats.

• Quadrat màgic

Un altre exemple pot ser el de demostrar que la solució del quadrat màgic de 3x3 és única.

La cerca exhaustiva consistirà en buscar totes les ternes de tres nombres diferents tot calculant les seves sumes (podem descartar les simètriques). Després podem buscar si hi ha algun resultat que aparegui vuit vegades. Trobarem tres resultats possibles: 14, 15 i 16.

Una observació important a fer és que hi ha caselles que intervenen en quantitats diferents de sumes: dues, tres o quatre.

A continuació podrem mirar les llistes de ternes per veure si en elles (les de sumes 14, 15 o 16) trobem que un nombre aparegui quatre vegades perquè pugui anar al centre del quadrat. Veurem que només a les de suma quinze el 5 apareix quatre vegades

1-5-9     2-4-9     3-4-8     4-5-6

1-6-8     2-5-8     3-5-7

               2-6-7

Buscant els nombres que intervenen a dues i tres sumes col·locarem la resta de nombres i d’una sola manera. I ara sabrem que la solució és única.