Pattern blocks (i 3)
QUELI
QUELI és l’acrònim de “Qui és l’intrús?” Tal com vam explicar a l’article de la campanya Dimensió Web que vam dedicar a aquests tipus d’activitat un QUELI “són col·leccions de quatre elements, normalment disposats en una quadrícula de 2x2, triats de tal manera que sempre podem trobar alguna característica comuna a tres dels elements i que no acompleix un quart. És a dir, sempre podem trobar una pauta que descarti a qualsevol dels quatre elements.”
Si hem fet un bon estudi de les propietats de cada peça el propi alumnat pot construir QUELIS.
És també molt ric construir o mostrar QUELIS amb més d’una peça. No és difícil trobar propostes per internet.
Sanefes
Simplificant una mica podríem dir que una sanefa feta amb Pattern Block consisteix en una línea de peces que poden seguir o no un patró. Si tenen un patró, hi ha un mòdul que es va repetint per translació i parlarem d’una sanefa periòdica. A la imatge següent, la primera sanefa no té patró, però la segona sí, la qual és periòdica i el mòdul està fet per un trapezi, un rombe i un hexàgon.
Sanefes "no periòdica" i periòdica
Podem convidar a l'alumnat a inventar sanefes i després a classificar-les segons les seves simetries i girs. Trobarem sanefes que no tinguin ni girs ni simetries, que tinguin només gir, només simetria vertical, només horitzontal, gir i simetria, etc
Cal contemplar un cas especial de simetria: la lliscant (s’aplica una simetria d’eix horitzontal i es desplaça una distància inferior a la longitud del mòdul).
Potser amb els més petits no cal fer la classificació, però en canvi, podem buscar simetries amb un mirall o buscar girs posant les peces sobre un paper. D'aquesta manera podem girar fàcilment la sanefa i, tenint una rèplica de la sanefa sobre la taula que no giri, podem fer la comparació.
Però si tenim en compte aquests criteris, hi ha només set tipus de sanefes. Un de les anotacions dels tipus de sanefa consisteix en posar un F amb un subíndex (1 si no té gir i 2 si en té) i un superíndex en el cas de que hi hagi algun dels tres tipus de simetria (1- horitzontal, 2-vertical i 3-lliscant). Qualsevol sanefa periòdica que trobem la podem classificar en un d’aquests tipus.
Podeu trobar una explicació d’aquesta activitat al web d’Ademgi amb alguna idea per afegir. Per exemple, demanar quina serà la peça 50 d’una sanefa.
Si la sanefa està plena de peces i entre dues línies paral·leles tenim un cas especial: els frisos. Pot ser una proposta per treballar-la amb els més grans.
Trobareu aquesta proposta més desenvolupada al Blog del Calaix +ie, amb algunes animacions que us poden servir per entendre millor el tema dels girs i simetries.
Mosaics
També podem fer tessel·lacions periòdiques (amb algun patró de construcció) o no periòdiques. És a dir, recobrir el pla amb diferents peces. Amb els més petits podem donar la tessel·lació començada i demanar que la vagin completant. Amb els més grans, de nou, podem buscar girs i simetries.
Si ja són més grans podem demanar que facin mosaics amb una sola peça de diferents maneres (totes tessel·len).
Serà més ric si ho fem combinant peces diferents.
Un repte superior és intentar construir tessel·lacions semiregulars que, encara que utilitzin peces diferents, tinguin tots els vèrtex iguals: amb les mateixes peces i el mateix ordre de col·locació
Per anotar l’ordre en què es col·loquen podem pactar una codificació. Per exemple, pel cas de la imatge anterior: h-q-t-q (a cada vèrtex, i per aquest ordre, hi ha un hexàgon, un quadrat, un triangle i un altre quadrat). Després d’inventar i codificar mosaics podem intercanviar consignes perquè altres grups reproduiexin les tessel·lacions trobades. En aquest enllaç podeu veure una presentació de Juan Vicente Riera,Maria Àngels Rueda i Daniel Ruiz, que tracta el tea dels mosaics amb Pattern Blocks.
Amb els més grans podem intentar buscar els 17 grups de mosaics diferents tenint en compte els seus girs i simetries invariants. I si el tema us interessa prou en aquest enllaç trobareu un treball de recerca de Georgina Mendoza (tutoritzat per Ramon Nolla) que treballa el tema de la classificació de mosaics periòdics amb molts exemples de la ciutat de Tarragona.
Fem octògons
Amb els Pattern Blocks en podem proposar reptes com construir determinats polígons i després classificar-los segons siguin còncaus o convexos, tenen simetries o no, etc.
Però ens podem posar reptes particulars. Per exemple, es pot fer un octògon regular? Un exemple d’octògon amb tots els costats iguals pot ser el de la següent imatge.
Però és regular? No tots els angles semblen iguals. De fet podem veure que tenim angles de 120º i de 150º. Per tant, no és regular.
La pregunta que ens podem fer és si és possible la construcció de l’octògon regular. La resposta és que no, perquè l’angle interior de l’octògon regular és de 135º i amb els angles que ens permeten construir les peces del Pattern blocks no és possible. Per cert, una pregunta nova… quins angles poden obtenir amb les peces dels Pattern blocks?
Fem dodecàgons
El dodecàgon regular, amb angles interiors de 150º, sí que es pot fer amb les peces del Pattern Blocks. I es poden fer de moltes formes. Fins i tot podem trobar amb simetries i sense.
Dodecàgon sense simetries
Dodecàgon amb simetries
En tot cas és interessant mirar la seva àrea. Si recordem que, en àrees, tenim dues “famílies” (la dels triangles i la dels quadrats) no serà difícil descobrir que un dodecàgon tindrà sempre 6 quadrats i 12 triangles. A partir d’aquí podem fer tots els intercanvis que vulguem (els quadrats per rombes estrets, els triangles per dos rombes amples, per tres trapezis, etc.).
Hi ha una altra relació curiosa que podem descobrir. Podem emmarcar el dodecàgon en un quadrat i, agrupant les peces d’una altra forma, veure que l’àrea del dodecàgon és ¾ parts d’aquest quadrat.
I per acabar…
… us proposem que dediqueu un temps a mirar aquest vídeo d’un taller que Daniel Ruiz va fer al cicle de conferències i tallers sobre materials manipulatius per a l’aprenentatge de les matemàtiques organitzat per la facultat de Ciències de l’Educació de la UAB. Tindreu una visió ben completa de les possibilitats d’aquest material: “Pattern Blocks: un material antic que està de moda”.
Finalment, us enllacem a un recull d'applets per treballar amb els materials manipulatius del Laboratori de Matemàtiques.