Daus - Probabilitat

Els daus han esdevingut, amb el temps, un dels símbols de l'atzar. També estan en l'origen dels primeres escrits sobre probabilitat. Són, doncs, un material bàsic per treballar-la a l'aula: per plantejar situacions i per experimentar. L'experimentació té, però, unes limitacions de les que hem de ser conscients: perquè els resultats obtinguts s'acostin als previstos teòricament s'han de realitzar milers i milers d'experiments. Tanmateix aquest és un aspecte del que hem de fer conscient a l'alumnat. Els hem de fer veure que l'experimentació ens dona una fotografia del que pot passar, però que tenim això només, una fotografia que es pot acostar més o menys a la teoria. Una possible manera de treballar-ho, i que pots servir per a la majoria de les activitats que proposarem, és que per petits grups (prioritàriament parelles) realitzin una determinada quantitat d'experiments i facin les primeres valoracions per, després, reunir els resultats de tot el grup per veure com canvia el "retrat" que tenim. Encara millor si, en una tercera fase, guardem resultats d'anys anterior per afegir els nous i veure com es modifica una altra vegada. Una altra opció es complementar les activitats amb simuladors informàtics (o crear-los) que permetin realitzar aquests milers d'experiments.

Treure un cinc amb el dau

Quan juguem al parxís necessitem un cinc per "treure fitxa". Podem tenir la sensació de que, en el "pitjor dels casos", necessitarem sis tirades per treure'l. Però els daus no tenen memòria i no saben que ha sortit abans. Per tant, de vegades traurem un cinc ràpidament i d'altres farem tirades molt llargues abans d'obtenir-lo. A la llarga, però, la mitjana sí que serà de sis tirades. Per tant una de les primeres activitats que podem fer, ja amb els més petits, és comptar repetides vegades la quantitat de tirades que triguen en treure un cinc (20 vegades, per exemple), recollir resultats i treballar-los després fent gràfiques, mitjanes, etc.

Si el necessiteu en aquest enllaç teniu un parell de simuladors fets amb flash, però no és difícil fabricar-se un amb scratch o snap.

Cursa de camells

Un bon joc per introduir conceptes bàsics de probabilitat a primària i a secundària és la cursa de camells: Llancem dos daus, sumem el resultat i avança el camell que porta per dorsal aquell nombre. Per quin camell apostes? 

Amb els més petits, a partir de cicle mig de primària, ens servirà per introduir conceptes com possible, impossible, poc o molt probable... i a fer petites investigacions de les possibilitats que té cada camell d'avançar. 

A partir de cicle superior, i als primers cursos de primària, podrem introduir diferents sistemes de registre ordenat de totes les possibilitats. 

Caminem pel tauler

Aquesta activitat, amb diferents variants, la trobareu àmpliament comentada al Blog del PuntMat (Materials per treballar la probabilitat: daus). El joc bàsic és el següent: disposem d'un tauler com el de la imatge i posarem una fitxa a la casella de sortida. Si amb un dau traiem un 1, un 2 o un 3 mourem una fitxa de la casella de sortida avançant una casella a la dreta i una amunt. Si traiem 4, 5 o 6 avançarem una casella a la dreta i en baixarem una altra. I ho farem una segona vegada. Hauran de fer conjectures i experimentació sobre quina serà la casella d'arribada (F, G, H, I, J).

Després podem variar el joc: pujar només amb l'1 i el 2 i baixar amb els altres. Al Blog del PuntMat en trobareu més idees.

Epidèmia

El dau ens pot servir per simular models en els que hi ha un component d'atzar. Per exemple la propagació d'una epidèmia. Una simulació senzilla és la següent.

Tenim un caseller de 10X10 en el que cada casella és un individu. Marquem una casella com a primera cèl·lula infectada. Després determinem un cert grau de contagi. Per exemple, que la probabilitat d'encomanar la malaltia és d'1/3. A continuació marquem quantes caselles veïnes hi ha. Podem comptar les que es toquen per un costat i les que es toquen per un vèrtex. O només per un costat perquè el "contacte" és més gran. A l'exemple triem compartir costats i vèrtexs.

Donat que hem triat 1/3 de probabilitat tirarem el dau una vegada per cada casella i farem que la casella s'infecti si s'obté un 1 o un 2 al dau. La que estava infectada queda immunitzada i tampoc contagia més. Així tenim un segon estadi de l'epidèmia.

Ens podem trobar amb cel·les que toquen més d'una casella (per costat o vèrtexs). Si un, per exemple, toca altres tres haurem de tirar els daus, com a molt, tres vegades. Per exemple, si a la segona tirada s'infecta, ja no farem la tercera tirada.

Podem continuar així fins al final de l'epidèmia i fer estadística d'afectats, immunitzats, etc. També podem observar, en fases intermèdies com hi ha individus ja envoltats només per caselles immunitzades que no emmalaltiran.

Pots veure una simulació amb snap en el següent enllaç en el que has d'escollir els percentatges de contagi, d'immunitat i també de mortalitat.

Finalment, us enllacem a un recull d'applets per treballar amb els materials manipulatius del Laboratori de Matemàtiques.