Dividir per vèncer

Hi ha un màxima d'origen militar que que diu “divide et vinces” o, en versió catalana “dividir per vèncer”. És una coneguda estratègia de resolució que s'aplica a problemes molt complexos subdividint-los en problemes més petits. Aquesta quinzena no anem per aquí, però us proposem una sèrie d’investigacions on l'ús de la divisió o de la divisibilitat no són evidents per resoldre-les però hem de tirar d’elles per sortir-nos-en. També haurem de “dividir per vèncer” (o tenir en compte els divisors).

Comptar cantant

Orientacions d'edats: Descobrir el nombre amagat: cicle Inicial de Primària. Investigació: cicles mitja i superior de primària, 1r d'ESO

Molts jocs comencen amb el que es coneix com “cançons de tria”. Per exemple per saber “qui la paga”. Aquestes cançons, en el fons, són formes de triar que semblen aleatòries però que en realitat no ho són, ja que amaguen números.

Mirem una coneguda cançó d’exemple:

Una plata d'enciam

ben amanida, ben amanida,

una plata d'enciam

ben amanida amb oli i sal.

Sucarem un tros de pa,

per qui toqui, per qui toqui;

sucarem un tros de pa,

per qui toqui anar a amagar.

Aquesta cançó, en el seu ritme habitual, compta fins a 32 (quatre “cops” per vers). Podem experimentar amb diferents cançons i observarem que poden representar nombres diferents segons el ritme amb que assenyalem i cantem. En tot cas, si establim un ritme, arribarem sempre a un mateix nombre. La investigació matemàtica consisteix en endevinar “qui la pagarà” d’antuvi. Serà un problema en el que la solució ens la dóna el residu. Així, per exemple, amb la cançó anterior, si hi ha 6 nens, la roda farà cinc voltes i “pararà” el nen que estigui col·locat dos llocs després del que hem començat a comptar (32:6= 5 residu 2).

Podem investigar amb diferents rotllanes, cançons... o decidint per quin nen es comença a comptar si vols que “la pagui” un altre de concret!

Jugar amb els dits d’una mà

Orientacions d'edats: cicle superior de primària, 1r i 2n d'ESO

És una variant del joc anterior una mica més difícil. Imaginem que comptem fins a 20 sobre els dits d’una mà tal com es veu a la imatge. Observareu que acabem el recompte al dit anular.

És possible endevinar en quin dit acabarem si comptem fins a 40? I fins a 317? I fins a 2015?

Podem observar on acaben diferents nombres fent una taula.

De l’estudi de la taula veurem que el cicle de comptatge, en aquest cas, és de 8 (ja que fem cinc dits i passem una vegada més pels tres dits centrals). Segons el residu obtingut de dividir per 8 sabrem en quin dit acabem.

El joc dels residus

En aquest interessant joc interactiu del web NRICH la "màquina" pensa un joc de l'1 al 100. Nosaltres li demanem que el divideixi per un nombre entre 2 i 10 i la "màquina" ens torna el residu de la divisió. Hem d'intentar endevinar el nombre amb el mínim de divisions. El sistema de puntuació suma més o menys punts segons la quantitat de divisions demanades i en resta si ens equivoquem. És molt interessant trobar una estratègia que minimitzi el número de divisions. (enllaç a l'activitat)

L'applet del joc s'acompanya amb un altre d'ajut molt interessant que ens permet "garbellar" els nombres. L'obrirem clicant el botó "Modulator". Per exemple si demanem que divideix per 8 ens farà vuits columnes i podrem deixar marcats tots els que tinguin el mateix residu, per exemple 4. A la següent imatge veiem que després hem demanat dividir per 5 i hem marcat tots els que tenen residu 0. En blanc ens van quedant els que acompleixen les dues condicions.

Quins és la xifra de les unitats?

No és difícil saber, sense fer el càlcul, quina és la xifra de les unitats del resultat de la multiplicació 4578 x 19037. Tampoc el de la xifra de les unitats d’aquestes potències:

6⁸⁹⁶ 5²³⁴ 31⁴⁵⁶³

Esbrinar les unitats d’aquestes altres potències tampoc serà excessivament complicat

9⁷⁸ 14³⁶¹

Podem investigar aquestes?

3⁷⁴⁸ 7²⁰¹⁴ 52⁶⁵⁸ 148⁶⁵⁸⁹⁷

Ping – pong (Com a joc al cicle superior de primària | Investigació ESO)

Orientacions d'edats: Com a joc es pot fer superior de primària, La investigació es pot fer a qualsevol curs d'd'ESO

Aquest problema és més una mica més complicat que els anteriors. És un joc que ens pot servir amb els més petits per comptar múltiples, però pot ser objecte també d’una bona investigació.

Per fer aquest joc aniria bé comptar sobre una filera de rajoles de terra, plafons de la paret o el sostre, finestres, quadres penjats a la paret, objectes a una taula... que ens ajudaran a comptar. L’únic que hem de tenir en compte és recordar ben clarament per on comencem a comptar. Nosaltres ara comptarem sobre caselles.

Decidim dos valor inicials. Per exemple, ping serà 5 (i els seus múltiples) i pong serà 8 (i els seus mútiples).

Comencem a comptar des la casella inicial dient 1, passem a la següent a la dreta dient 2... quan arribem a la 5 no diem el número, direm “ping” i a partir d’ara canviarem de sentit, anirem cap a l’esquerra dient 6, 7... i “pong” (en comptes de 8), i tornarem a canviar de sentit, 9, ping (canviem de sentit), 11, 12, 13, 13, “ping” (canviem de sentit), “pong” (canviem de sentit), 17... i així fins que arribem a un nombre “ping-pong”, en els nostre cas a 40. Podem veure com funciona el joc en aquesta imatge i observar que finalitza una casella abans de la de sortida.

Donats diferents valors de “ping” i “pong” podem saber a quina casella acabarem? I a quina casella estarem en un número donat?

Saltant de punt en punt...

Orientacions d'edats: Cicle superior de primària i ESO

Imaginem que sobre una circumferència assenyalem i numerem ordenadament cinc punts . A continuació podem unir els punts comptant d’un en un, de dos en dos, de tres en tres, o de quatre en quatre. En tots els casos en una sola volta passem per tots els punts. En dos d’ells tanquem un pentàgon i en els altres dos ens queda dibuixada una estrella de cinc puntes.

Si provem amb sis punts obtenim resultats diferents. Només fem la volta unint d’un en un o de cinc en cinc. De dos en dos i de quatre en quatre obtenim un triangle que uneix tres dels punts. De tres en tres obtenim un segment.

De què depèn que fem una volta sencera unint tots els punts? Què passarà si provem amb circumferències amb 7 punts, amb 8, amb 9...?

Hi ha una variant molt bonica d’aquesta investigació que podem fer amb una cinta i posant els alumnes en rotllana. Per exemple. L’alumne 1 es lliga a la mà esquerra una cinta i després aquesta es va passant d’un en un. Cada alumne que la rep li fa una volta al seu canell esquerra. Quan s’ha fet la volta sencera es continua de dos en dos. Després de tres en tres... i així fins que “estan totes les línies fetes”.

Podem intentar esbrinar per n alumnes quantes voltes senceres (quants cicles) s’han de fer per tenir totes les línies. També podem estudiar les característiques que ha de tenir el nombre n perquè el joc funcioni perfectament.

Una altra variant la podem veure en aquest programa fet amb Scratch que dibuixa flors sobre un rellotge.

Quants quadrets talla la diagonal? (ESO)

Mirem aquest rectangle de 7x9 i comptem quants quadrets talla la diagonal. Observarem que en talla 15 quadrets.

Provem ara amb un rectangle de 6x8. Veurem que la diagonal talla 12 quadrets.

Quants quadrets tallarà la diagonal d’un rectangle de costats a i b?

Franquejar amb segells

Orientacions d'edats: L'exploració numèrica es pot fer a partir de 2n de primària. La investigació és més recomanable a 66è o a ESO

Imaginem que tenim segells de 3 i 5 cèntims. Podem franquejar cartes per valor de 3 cèntims, de 5, de 6 (3+3), de 8 (3+5), de 9 (3+3+3), de 10 (5+5), d’11 (3+3+5), de 12, 13, 14... i així fins a qualsevol quantitat. No hem pogut franquejar ni per valor d’1 cèntim, ni de 2, ni de 4, ni de 7. Però veiem que el valor 8 és com una frontera a partir de la qual podem aconseguir qualsevol valor.

Si provem ara amb segells de 4 i 9 cèntims veurem que els valors que podem aconseguir són 4, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29... La “frontera” ara ha estat 24. A partir d’aquest valor podem aconseguir tots els nombres.

A l’aula, amb els més petits, podem explorar amb diferents parells de nombres. Treballar sobre una taula ja fa buscar estratègies, mirant regularitats, per estalviar feina.

Com podem esbrinar, donats dos nombres a i b, a partir de quin nombre es podran fer tots els valors? (Atenció! Us suggerim que comenceu amb dos valors que siguin primers entre ells, que no tinguin divisors comuns, tret de l’u) .