Pentòminos
Els joc dels pentòminos és un trencaclosques inventat a l’any 1953 pel matemàtic estatunidenc Solomon W. Golomb, però es va popularitzar una dècada més tard gràcies a la publicació d’un llibre del propi creador i un article de Martin Gardner a la revista Scientifican American.
Si considerem un dòmino un rectangle de 2x1 format per dos quadrats units per un costat, un trímino serà una forma feta per la unió de tres quadrats tocant-se també per un costat, un tetràmino una forma de quatre quadrats i, en general un poliòmino una forma feta per la unió d’n quadrats.
Els pentòminos, concretament, són les formes fetes amb la unió de cinc quadrats. N'hi ha 12 de diferents (si no tenim en compte simetries ja que, fetes amb material, se’ls hi pot donar la volta). Cada forma s’acostuma a anomenar segons la lletra que recorda.
Amb els més petits
Abans d’entrar en activitats de caràcter investigador, cal dir que treballar en la creació i reproducció de figures tot resolent un trencaclosques amb els pentòminos o amb el tangram, és un treball geomètric de primer ordre des de ben petits. Buscar una determinada figura, posar-la en la orientació adequada, encaixar-la amb la següent, per anar confegint una determinada imatge obliga a un treball geomètric molt interessant... Deixarem sempre que primer juguin i explorin lliurament el material. Posteriorment, quan els plantegem una proposta més dirigida en forma de repte hauran de fer transformacions geomètriques, com ara girar les peces o donant-els-hi la volta (fer una simetria), per mirar de col·locar-les de manera que ajudin a aconseguir la figura buscada. Probablement no ho faran de manera conscient (sabent que apliquen transformacions) sinó guiats bàsicament per la percepció, però ens oferirà una situació que podrem aprofitar per introduir nou vocabulari.
En els primers cursos, sovint convindrà treballar amb una quantitat reduïda de peces i anar-ne afegint a mesura que sigui possible. Podem plantejar també la possibilitat de classificar les peces, deixant que ells mateixos proposin els criteris que vulguin, o mirar si les construccions que fan lliurement responen a algun repte que s'han plantejat ells mateixos, com ara ser més o menys figuratives, tenir simetries, no deixar forats…
Quines formes podem fer amb cinc quadrats?
La primera activitat natural, abans de repartir el joc entre l’alumnat, és buscar les 12 formes bàsiques. Ho podem fer dibuixant sobre paper quadriculat o amb quadrats que puguin moure (per exemple amb material de fer volums amb cares encaixables). En els dos casos és interessant observar com s’ho fan per trobar de forma ordenada tots els casos. I si no ho fan així la nostra intervenció pot anar en aquest sentit. També sortirà la discussió sobre el casos simètrics: són una mateixa peça o no? Aquesta situació es pot abordar més fàcilment si treballem amb material i girem la peça.
Estudiem els dotze pentòminos
El primer estudi que podem fer de les peces és el de la seva àrea i el seu perímetre. Començarem demanant si tenen àrees iguals o no i escoltarem la seva argumentació. Un cop assumit que les àrees són idèntiques demanarem si tenen també el mateix perímetre o no. Probablement hi haurà divisió d'opinions i haurem de passar a la mesura. Podem recollir els resultats en una taula i discutir sobre els resultats: quants perímetres diferents obtenim? Observem a la taula que només tenim dos perímetres: totes les peces tenen 12 unitats menys la P que el té de 10. Què té de diferent aquesta peça perquè el seu perímetre sigui més petit? Hi ha formes ràpides d’esbrinar el perímetre? Per què tots els resultats són parells?
Un altre aspecte que podem estudiar de les peces és observar les seves simetries i girs. També podem recollir els resultats en una taula. En aquest exemple anotem un zero sinó té cap eix de simetria i la quantitat de graus que s’ha de girar, com a mínim, per veure la peça “igual”. Anotem 360º en el cas de que només queda invariant fent un gir complet. És interessant veure després la relació entre la quantitat d’eixos i els graus de gir, i si s’acompleix en tots els casos (podeu observar que si no hi ha cap eix de simetria el gir no és predible).
Tenint en compte els girs i les simetries també podem comptar de quantes formes es pot col·locar cada peça sobre un tauler quadriculat. Per exemple, la peça P es pot col·locar de 8 formes diferents.
És molt interessant buscar relacions aquesta taula de posicions amb la de simetries i girs. Hi ha alguna peça que sigui "diferent" a algunes correspondències que hi poden haver-hi?
Primers trencaclosques
Amb els més petits podem començar amb trencaclosques senzills: amb dues peces, tres, quatre… A cada repte podem dir quines són les peces que s’han d’utilitzar per complicar-ho després no especificant quines peces calen. Una possibilitat d’ajuda és donar els trencaclosques dibuixats sobre paper a mida real. Així només han d’encabir les peces en el dibuix. Més endavant ja podrem canviar l’escala del dibuix del problema.
També poder fer que l’alumnat s’inventi reptes i els intercanviïn a l’aula.
En aquest enllaç, d'Orientación Andújar, podeu trobar alguns exemples de primers reptes
Podem fer quadrats?
Una pregunta que ens podem fer és si podem fer quadrats completament plens, sense forats. Podem investigar mirant els nombres quadrats fins a 60 (ja que és l’àrea màxima que podem aconseguir amb tots els pentòminos, 5x12=60): 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49. D’aquesta sèrie l’únic quadrat possible és el de 25 (5x5). A partir d’aquí podem buscar solucions. N’hi ha 107 de diferents.
Entre els nombres quadrats anteriors hi ha casos interessants. Per exemple el 9. Si afegim una unitat obtindrem 10 que és múltiple de 5. Podrem fer quadrats de 3x3 amb una “punxa” d’un quadradet. Es tracta de jugar només amb dues peces i podem fer una cerca de solucions més o menys exhaustiva entre tota la classe.
També podem investigar quadrats amb un forat amb 3 peces (16=3x5+1, costat 4) o amb 5 peces (36=5x7+1, costat 6).
Dos exemples de quadrat 4x4 amb forat
Si ens atrevim a jugar amb les 12 peces podem provar de fer quadrats de 8x8 amb 4 forats. Entre les moltes solucions que hi ha (i que hi hagi moltes no implica que siguin fàcils) són especialment interessant aquelles en les que els quatre quadrats queden distribuïts amb alguna simetria.
Ataquem els rectangles
En principi podem fer alguns rectangles només amb dues peces si utilitzem dues d’iguals. Però aquests no són els casos que volem estudiar. Totes les activitats que estem plantejant són sense repetició de peces. Això no vol dir que a l’aula, segons el nivell, no es puguin plantejar qüestions amb aquesta opció.
Una investigació interessant (a partir del CS de primària i fins a l’ESO) és estudiar perquè no es poden fer rectangles en el què un dels costats sigui 2. Es poden eliminar la meitat de peces directament: les que tenen una mida màxima de 3 No costa donar arguments per a la demostrar la impossibilitat amb les sis peces que ens queden.
Es poden fer rectangles de 3x5 (7 solucions), 3x10 (145 solucions), 3x15 (201 solucions) i, més difícil 3x20 (2 solucions). Abans de fer-los, amb el més petits, els hi podem demanar quantes peces calen en cada cas.
Amb costat 4 tenim rectangles de 4x5 (50 solucions), 4x10 (2085 solucions) i 4x15 (368 solucions). Cal comentar que, encara que hi hagi més solucions que en el cas anterior de costat 3 també costen més de trobar perquè juguem amb més peces. També podem “alleugerir” el problema deixant repetir una quantitat mínima de peces (una, dues…).
De costat 5 es poden fer tots els casos en què l’altres costat mesura des de 3 a 12 unitats (els de 3, 4 i 5 ja els hem comentat). Podeu trobar la quantitat de solucions en aquest enllaç la pàgina Pentòminos. En aquest web, fent clic sobre les imatges trobareu dibuixades totes les solucions. També les quantitats de solucions per altres mides de costats.
Rectangles amb les dotze peces
Una altra forma d’encarar el treball amb rectangles és plantejar quina mena de rectangles es podran fer amb totes les peces. Es tracta de buscar tots el rectangles d’àrea 60: un problema de divisibilitat:
Podem justificar amb relativa facilitat per què no es poden fer dos d’ells:
1x60 (hauríem d’utilitzat 12 peces d’una tira de 5 quadrats i només en tenim una)
2x30 (no podríem utilitzar les peces d’amplada màxima 3)
Després podem demanar que facin, entre tota la classe, un rectangle de cada tipus.
Replicar pentòminos amb 4 o 9 peces
Una altra exploració interessant és intentar replicar la forma d’una peça dels pentòminos amb 4 peces. No totes es poden fer (la V i l’X no es poden replicar). Després podem estudiar com han augmentat l’àrea (4 vegades) i el perímetre (2 vegades).
Si tenim més d'un joc de pentòminos podem esbrinar quines figures es poden ampliar fent servir 4 figures iguals. Per exemple, amb 4 P podem construir una P més gran.
En canvi, totes les peces es poden autoreplicar fent-ne servir 9. També poden comparar la proporció de creixement d’àrea i perímetre.
Com a curiositat, eñ logo del concurs +Mates del 2018 és una de les solucions de la peça X.
Encabim les peces
Ens podem preguntar quina forma i quina àrea ha de tenir una superfície quadriculada que permeti col·locar a sobre qualsevol de les dotze peces sense que sobresurti. Una primera resposta pot ser un rectangle de 3x5 donat que la peça més llarga té 5 quadrets i l’altura màxima és de 3. Però podem investigar quins quadrets podem treure d’aquest rectangle per reduir aquesta àrea.
No és difícil trobar regions com la de l’exemple, amb una àrea d’11 quadrats.
Però el cert és que es pot reduir fins a 9. Hi ha només dues solucions que podeu trobar en aquest enllaç.
Un joc de taula
També podem jugar als pentòminos com a joc de taula per a dos jugadors. Es juga sobre un tauler de 8x8 on cada casella té la mida d’un dels quadradets bàsics del pentòmino. Es posen les 12 peces sobre la taula i cada jugador, alternativament, posa una peça sobre el tauler. Perd el que no pot col·locar cap peça.
En algunes variants cada jugador agafa un grup de 6 peces per començar el joc (aleatòriament, triant una alternativament…). Podeu provar de jugar aquesta variant en línia al web de l’NRICH.
Fem cubs
És evident que amb els pentòminos no podem fer cubs complets perquè ens falta una cara. Però, quines de les 12 peces es poden plegar per formar una caixa cúbica (sense una cara)? Ho podem investigar retallant-los en paper (enllaç) o amb un material tipus polydron.
La resposta és que es pot fer amb vuit dels pentòminos:
Una curiositat: quadrat geomàgic de pentòminos
A la campanya Impressió 3D i matemàtiques hi ha una entrada sobre quadrats geomàgics. Un quadrat màgic numèric és aquell en què totes les files, totes les columnes i les dues diagonals sumen el mateix. Un quadrat geomàgic és aquell que totes les peces de cada fila, totes les de cada columna i les de les dues diagonals permeten construir una mateixa forma. Amb els 12 pentòminos no podem formar un quadrat, però si afegim els 4 tetràminos tindrem 16 formes que ens permeten fer un quadrat geomàgic de 4x4.
Si us animeu a fer un quadrat geomàgic de 9 peces, fins on sabem, el problema està encara obert.
Altres aportacions:
En Salvador Casals al C2EM 2020 proposa un taller de pentominos i policubs. Minut 50 del vídeo.
Finalment, us enllacem a un recull d'applets per treballar amb els materials manipulatius del Laboratori de Matemàtiques.