El matemàtic hongarès John Von Neumann va néixer a Budapest el 28 de desembre de 1903. Va ser un dels matemàtics més importants del segle XX i va treballar en camps tan diversos com la lògica, la física, els fonaments de la informàtica, l’economia... El 8 de febrer de 1957 moria a Washington.

Von Neumann és molt conegut per la seva participació al Projecte Manhattan, que va ajudar a desenvolupar la primera bomba atòmica. Va ser un actiu militarista i defensor del desenvolupament d’armes nuclears. Però també va contribuir, i molt, en altres treballs més matemàticament pacífics i és un dels pares de la informàtica moderna.

Propostes per a l’aula

• Parlar de la seva contribució al món de la computació moderna. A la majoria d’ordinadors s’utilitza, ern el seu funcionament, l’arquitectura de Neumann que proposa un model d’emmagatzematge de dades i instruccions per a l’ús d’algoritmes.

També relacionat amb la computació es pot parlar de les màquines de Neumann màquines que, a més de fer una feina determinada són capces d’autorreplicar-se, augmentant, a la llarga, la productivitat. Un exemple negatiu de màquines de Neumann són els virus informàtics.

• Parlar dels autòmats cel·lulars inventats per Von Neumann, models matemàtics sobre sistemes dinàmics que evolucionen pas a pas. Es poden treballar diferents qüestions:
  • El veïnatge de Neumann. En les quadrícules que formen les xarxes de cèl·lules s'acostumen a aplicar el veïnatge de Moore (Les 8 caselles que envolten una donada) o el de Von Neumann (les quatre que es toquen compartint costats). Es pot calcular quants veïns pot tenir un “barri” de Neumann segons el radi. A primària podem fer taules per anar ampliant sense necessitat de fer els dibuixos. A secundària, a més, podem intentar trobar una fórmula per a qualsevol radi. Podem veure una demostració interactiva a la pàgina WolframAlpha.

• Estudiar altres autòmats cel·lulars. El de la “regla del 30” i altres similars es poden dibuixar fàcilment en paper quadriculat. És una activitat que es pot adaptar perfectament a primària. Podem investigar altres regles amb applets (1 i 2) que els dibuixen automàticament. Una altra opció és mirar-jugar-investigar el joc de Vida de Conway, potser l'autòmat cel·lular més conegut.

Regla de "pintat" del 30: les tres caselles superiors determinen el de la central inferiror

• A batxillerat o classes d’economia parlar sobre teoria de jocs i el teorema del minimax, importants aportacions sobre teoria de presa de decisions original de John Von Neumann.

• Tractar les aportacions de Von Neumann en el camp de la lògica, tant en la teoria de conjunts (amb l’axioma de la regularitat) com les respostes al teorema de la incompletesa de Gödel.
• Discutir sobre les relacions entre ciència i militarisme, parlant del Projecte Manhattan posant exemples d’actituds contràries entre si com les de Von Neumann, contrastades amb la de Hardy, Einstein, Oppenheimer...
• Presentar o comentar alguna cita de John von Neumann:
  • “Si la gent no pensa que les matemàtiques són simples, és només perquè no s'adonen de lo complicada que és la vida. "
  • "No té cap sentit ser precís quan ni tan sols saps del que estàs parlant."
  • "Les ciències no tracten d'explicar, fins i tot amb prou feines tracten d'interpretar, construeixen models principalment. Per model, s'entén una construcció matemàtica que, amb l'addició de certes interpretacions verbals, descriu els fenòmens observats. La justificació d'aquesta construcció matemàtica és tan sols i precisament que s'espera que funcioni. "
  • "En matemàtiques un no entén les coses, s'acostuma a elles."
  • Després d’un accident de cotxe: "Jo estava conduint per la carretera. Els arbres em passaven per la dreta de manera ordenada a 60 milles per hora. De sobte un d'ells es va creuar en el meu camí."
  • "La veritat és massa complicada com per permetre res més enllà de meres aproximacions."
  • "Qualsevol que consideri mètodes aritmètics per produir dígits aleatoris està, per descomptat, en pecat mortal"
  • "És més fàcil viatjar en un avió, fins i tot pilotar, que entendre per què pot volar"
• Treballar alguns dels problemes relacionats de forma anecdòtica amb Von Neumann.
  • El problema dels trens i la mosca: John von Neumann tenia fama de ser un gran calculista. S’explica que una vegada li van plantejar aquest problema.

"Dos trens separats per 200 quilòmetres es mouen l'un cap a l'altre per la mateixa via. La velocitat dels dos trens és de 50 km/h. En el moment inicial, una mosca situada al morro d'un dels trens comença a volar cap a l'altre, en viatges d'anada i tornada, a una velocitat de 75 km/h. Ho fa repetidament fins que tots dos trens xoquen entre si matant la mosca. Quina distància ha recorregut volant l'insecte?

El problema es pot resoldre de forma relativament fàcil si t’oblides de la mosca i et preguntes quant trigaran els dos trens a xocar. Fàcilment es calcula que dues hores. Per tant, la mosca ha estat volant durant dues hores a 75 km/h i es pot calcular que la distància recorreguda ha estat de 150 km.

S’explica que von Neumann va contestar de forma immediata i el seu interlocutor li va comentar sorprès per la seva rapidesa en contestar que “és estrany, tothom ho intenta resoldre sumant la sèrie infinita de trossos recorreguts per la mosca”. Von Neumann va respondre “Estrany, per què? Així és com ho he fet!”

• El problema de la moneda trucada. Un curiós problema de probabilitat plantejat per von Neumann demana com dissenyar un joc equiprobable amb una moneda trucada.

La seva resposta era la següent:

• cada jugador tira la moneda dos dos cops
• si treu CC o ++ torna a tirar dues vegades
• A guanya si treu C+
• B guanya si treu +C
• Molt recentment, el 25 de gener de 2013, ha estat notícia que al congrés de la RSME, la matemàtica gallega Eva Gallardo y l’estadounidenc Carl Cowen van presentar la solució a un problema d’anàlisi funcional, relacionat amb els espais de Hilbert, plantejat per Von Neumann als voltants del 1930. La notícia va córrer anunciant que s’havia resolt un dels problemes del mil·leni proposats per l’Institu Clay, però no és cert que el problema aparegui en aquesta llista, tot i que “gent entesa” afirma que podria ser-hi. Darrerament, però, sembla que s'ha trobat algun petir error en la demostració. Podeu ampliar la informació sobre aquest problema en aquests dos blocs:
  • Mati una profesora muy particular
  • Gaussianos (1)
  • Gaussianos (2) sobre el possible error

Lectures

• L’ordinador i el cervell de John Von Neumann (editorial Obrador Ednedum)
• El paper de les matemàtiques en les ciències i la societat (editorial Obrador Edendum)
• El mundo como juego matemático: John Von Neumann un científico del siglo XX, de Giorgio Israel i Ana Millan (Nivola)
• Sobre teoria de jocs: Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes. Teoría de juegos de Jordi Deulofeu (RBA)

Enllaços

• John Von Neumann a la Viquipèdia
• John Von Neumann a MacTutor History of Mathematics