Embedded Files
L'1 de desembre de 1792 naixia Nikolai Ivànovitx Lobatxevski. És el “pare” de la geometria hiperbòlica, un tipus de geometria no euclidiana. Va morir el 24 de febrer de 1856 a Kazan (Rússia).
La geometria euclidiana es basa en cinc nocions comunes i cinc postulats. Aquests cinc postulats es consideren indemostrables. A partir d’ells es construeix, demostració rera demostració, tot l’edifici geomètric.
La història interessant prové del cinquè postulat que, de forma moderna, podríem enunciar així: “Per un punt exterior a una recta passa una, i només una, paral·lela”. Entenem per paral·lela una recta que no talla a una altra donada. Aquest postulat, menys “natural” que els altres quatre, va ser objecte d’abundants i fallits intents de demostració.
Lobatxevski va construir tota una geometria nova imaginant que el cinquè postulat era diferent i que, per un punt exterior a una recta passen, com a mínim, dues paral·leles. D’aquesta manera va poder construir tota una nova geometria consistent, la hiperbòlica, però que ja no era euclidiana i que, per exemple, ha estat de gran utilitat aplicada a la Teoria de la relativitat.
Tres anys més tard de la publicació de Lobatxevski, i de forma independent, el matemàtic hongarès János Bolyai feia públic un altre tractat amb un geometria no euclidiana diferent, en la que canviava el cinquè postulat afirmant que “per un punt exterior a una recta no en passa cap de paral·lela”. Aquesta geometria s’anomena el·líptica.
El descobriment d’aquestes dues geometries, que “funcionaven” perfectament modificant l’enunciat d’Euclides sobre el postulat de les paral·leles, clarificava, col·lateralment, que aquest postulat era indemostrable.
Per fer-nos una idea sobre com funcionen aquestes geometries és útil buscar models, superfícies on funcionen. La geometria de Bolyai té un model més clar, es pot imaginar com una geometria sobre una esfera en la que les rectes passen a ser cercles màxims. Per això també se la coneix com geometria esfèrica. És la geometria real que “vivim” al nostre planeta Terra.
La geometria de Lobatxveski necessita models no tan evidents. Una superfície en la que funciona és la pseudoesfera , i que, per la seva forma, s’assembla a dues trompetes enganxades per les seves campanes. Una altra superfície vàlida és el paraboloide hiperbòlic, que recorda les cadires de muntar a cavall.
Paraboloide hiperbòlic
Per a la geometria hiperbòlica encara tenim dues representacions més:
- el model de Klein: un cercle representa el pla hiperbòlic i les cordes són les rectes. Vindria a ser com un pla euclidià no infinit, limitat.
- el model de Poincaré: també es representa el pla hiperbòlic com un cercle i les rectes són arcs de circumferència que tallen la vora del disc perpendicularment. Ve a ser una projecció de la pseudoesfera.
Propostes per a l’aula
- Tractar a classe la història del cinquè postulat i de les geometries no euclidianes.
- També es pot parlar de la resistència inicial a admetre-les. Un parell d’exemples són el fet de que Gauss, que també assegurava haver-les descobert no les va voler publicar. Un altre el tenim en un text de Dostoievski al llibre Els germans Karamàzov.
"Cal observar, no obstant, que si Déu existeix, si Ell ha creat realment la terra, l’ha feta, com és sabut, segons la geometria d’Euclides, i no ha donat a l’esperit de l’home més que la noció de tres dimensions de l’espai. No obstant, hi ha hagut, hi ha encara geòmetres i filòsofs, i entre ells alguns d’eminents, que dubten que tot l’univers i fins tots els mons hagin estat creats solament segons els principis d’Euclides. Fins gosen suposar que dues paral·leles, que segons les lleis d’Euclides no es poden trobar mai damunt aquesta terra, podrien trobar-se en alguna banda, a l’infinit. Incapaç com soc de comprendre això, he decidit no tractar de comprendre Déu. Confesso humilment la meva incapacitat per resoldre qüestions com aquestes; essencialment, tinc l’esperit d’Euclides, terrestre; ¿per què voler resoldre allò que no és d’aquesta terra? I t’aconsello que no t’escalfis la closca amb coses d’aquestes, amic Alioxia, i sobretot no te l’escalfis amb el tema de Déu, de si existeix o no. Aquestes preguntes estan fora de l’abast d’un esperit que només té noció de tres dimensions." (Capítol 3 del llibre V, tradicció de Joan Sales)
- Treballar el problema de la suma dels angles d’un triangle. A la geometria euclidiana aquesta és de 180º, a l’esfèrica superior als 180º i a la hiperbòlica inferior. El cas de l’esfèrica es pot plantejar en forma d’enigma, fins i tot a primària. Una possibilitat és el problema de l’ós (que vam presentar ja a l’efemèride sobre G. Pòlya: “Partint d'un punt P un ós camina un quilòmetre cap al sud. Canvia llavors de direcció i recorre un quilòmetre cap a l'est. Després gira de nou cap a l'esquerra i recorre un quilòmetre cap al nord per arribar exactament al punt de partida P. De quin color és l'ós?”. La solució més evident (n’hi ha altres) és que el punt P és al Pol Nord. Si ho pensem la suma dels angles del triangle recorregut per l’ós és superior a 180º, ja que fa dos girs de 90º.
- Fer algun treball amb l'applet Non Euclid, un programa online de geometria dinàmica similar al Cabri o al GeoGebra però que treballa amb el model de Poincaré. Es poden fer construccions similars amb geometria euclidiana i hiperbòlica i comparar els resultats obtinguts.
- Mostrar els dibuixos d’Escher basats en el model de Poincaré sobre la geometria hiperbòlica (la sèrie cercle límit). Podrem veure que les figures que recobreixen el cercle són cada vegada més petites i, en algunes d'elles, si intentem comptar les que apareixen sobre un radi veurem que són infinites.
Cercle límit III
Cercle límit IV
Lectures
Lectures
- Lobachevski. Un espíritu indomable de Santiago Fernández Fernández Editorial Nivola)
Report abuse