Transformació d'un cercle en ovals

Un dels supòsits on té sentit imprimir en 3D és quan necessitem un material que no es comercialitza.

La proposta que presentem és fruit de la col·laboració amb el Grup Cúbic en el marc de la preparació dels materials per a la Segona jornada de Didàctica de la Facultat de Matemàtiques i Informàtica de la UB organitzada pel mateix grup, duta a terme el passat 30 de novembre de 2018, i que portava per títol Una mirada matemàtica a l'obra de Josep Estalella i Graells, en commemoració del centenari de la publicació del seu llibre Ciència Recreativa (1918).

En la jornada hi va haver una mostra de materials i una gimcana en les que s'intentava fer una relectura d’algunes de les activitats proposades per Estalella, agafant com a punt de partida les idees que hi havia al darrera de les activitats per ampliar-les i “materialitzar-les”.

Una d'aquestes activitats porta per títol Transformació d'un cercle en dos ovals on Estalella proposa dur a terme una descomposició d’un cercle en vuit parts per recompondre-les en dos ovals amb una porció central buida.

La proposta inicial pot ser construir les peces de la dissecció del cercle proposades per Estalella per comprovar-ho, però a partir d’aquesta construcció venen fàcilment altres preguntes al cap, com per exemple, què passarà si ampliem el nombre de cercles concèntrics equidistants que proposa Josep Estalella? O, que passarà si ampliem el nombre de diàmetres?

Per tant la nostra feina es centrarà en dissenyar i imprimir les peces per poder dur a terme aquesta activitat d'exploració. El disseny de les peces es pot dur a terme amb GeoGebra.

Hem treballat amb la versió Calculadora 3D del GeoGebra online, amb les finestres algebraica i gràfica 3D activades. Una de les opcions és utilitzar la comanda Superfície de GeoGebra:

Superfície (<Expressió>, <Expressió>, <Expressió>, <Variable 1>, <Des de>, <Fins a>, <Variable 2>, <Des de>, <Fins a>) on la Variable 1 serà el radi i la Variable 2 serà l'angle de gir.

Primer podem definir les dimensions de cadascuna de les peces. Tant el cercle com les corones volem que tinguin una amplada d' 1,5 cm i una altura de 2 mm. Donat que després les peces han d'ajustar deixarem un joc d'1mm entre peça i peça.

Així els radis que hem de tenir en compte per al disseny són:

• Cercle: r = 1,4 cm
• Primera Corona: r = 1,5 cm i R = 2,9 cm
• Segona Corona: r = 3 cm i R = 4, cm
• Tercera Corona: r = 4,5 cm i R = 5,9 cm

Donat que eren peces de 90 graus l'angle anirà entre 0 i Pi/2 radians.

L'altura de la peça la donarem directament amb el programa d'impressió.

Així la parametrització de cadascun dels segments de corona circular a GeoGebra serà de la forma:

Superfície (u·cos(v), u·sin(v),0,u, r,R,v,0,pi/2)

A continuació podem veure les diferents peces parametritzades com a superfícies:

Seguidament només cal treure tots aquells objectes que no volíem que s'imprimeixin (eixos, pla, etiquetes, etc..), posar el gruix de línia de cada superfície a zero i canviar als colors desitjats o en què durem a terme la impressió.

Finalment només caldrà generar i descarregar l'arxiu STL per imprimir:

Carregant l'arxiu STL al programa de gestió de la nostra impressora 3D podem acabar d'ajustar les dimensions de la construcció (en el nostre cas aquest programari era el CURA, però normalment cada impressora porta el seu propi software) :

Com podem comprovar les dimensions de la construcció eren correctes i només calia ajustar l'altura. Per tant, a l'opció de redimensionar la construcció desbloquegem el cadenat per no conservar l'uniformitat d'escala i donarem un altura de 2mm:

Des del programa de gestió de la impressió també podem resituar la construcció a la plataforma d'impressió, separar les diferents peces de la construcció, afegir còpies, etc...

Com hem deixat les 4 peces separades a la construcció inicial, per poder imprimir cada peça d'un color i fer-ne 4 còpies de cada, cal seleccionar la construcció, clicar al botó esquerre del ratolí i seleccionar Dividir objecte en parts.

Ara només cal esborrar les peces que no volem imprimir, seleccionar la peça desitjada, clicar el botó esquerre i amb l'opció Multiplicar l'objecte definir el nombre de còpies de la peça (en el nostre cas són 3 ja que s'afegeixen a l'original)

Finalment, i abans d'enviar les peces a imprimir, cal recordar d'ajustar els paràmetres d'impressió, sobretot la densitat d'emplenat, ja que afectarà de forma important al temps final d'impressió. En el nostre cas les peces tenen un 20% de densitat ja que només s'han de manipular i no han de suportar cap tipus d'esforç o moviment.

En el cas de la segona construcció només cal repetir tot el procés canviat els angles de Pi/2 a Pi/3.

A continuació enllacem al web del Grup Cúbic per veure el desenvolupament de l'activitat on es proposa dur a terme una exploració de les possibilitats que ens ofereixen aquestes disseccions:

Enllaços

• Web del Grup Cúbic per veure el desenvolupament de l'activitat on es proposa dur a terme una exploració de les possibilitats que ens ofereixen aquestes disseccions: 112 – Transformació d'un cercle en dos ovals

• Construcció feta amb el GeoGebra: https://ggbm.at/sa4wwyz8
• Repositori de Materials del grup Cúbic podeu trobar també els arxius preparats per imprimir: https://www.tinkercad.com/users/4NJTckgVfid-grup-cubic