Punts, segments i regions en un cercle
Si dibuixem dos punts en un cercle i els unim amb un segment el dividim en dues regions. Si fem el mateix amb tres punts n'obtindrem quatre.
Aquesta proposta ens convida a investigar quantes regions es poden obtenir amb 4, 5, 6, 7... punts
Material: full amb cercles per imprimir (decarregar)
Podem...
- Investigar diferents tipus de solucions amb cada quantitat de punts si, encara que es facin servir tots els punts, no es dibuixen tots els segments possibles. Per exemple, amb tres punts podem obtenir tres o quatre regions.
- Buscar quin és el mètode per obtenir la màxima quantitat possible de regions.
- Buscar una regla per saber quantes regions s'obtindran coneixent el número de punts. Però atenció: hi ha una regla relativament fàcil fins a 5 punts que a partir de 6 falla. És un exemple en que la intuïció ens enganya. La fórmula general és complexa i força improbable que es pugui obtenir a classe, però podem intentar veure per què la primera que hem pensat, força més senzilla, ja no funciona a partir de 6 punts.
Si vols veure els comentaris de cada exploració baixa per la pàgina.
- Comentaris a a la primera exploració
Aquí tenim algunes de les solucions amb quatre punts.
- Comentaris a a la segona exploració
Hem de procurar construir la quantitat màxima de segments de forma que no es creuin més de dos en un sol punt.
A continuació dibuixem solucions per quatre, cinc i sis punts:
- Amb 4 punts s'aconsegueix un màxim de 8 regions.
- Amb 5 punts s'aconsegueix un màxim de 16 regions.
- Amb 6 punts s'aconsegueix un màxim de 31 regions.
- Comentaris a a la segona exploració
Inicialment podem pensar que la fórmula per saber la quantitat de regions és 2n-1 però aquesta fórmula només funciona fins a 5 punts. A partir de 6 falla. Ho podem veure amb aquesta taula:
Podem observar que les regions que dibuixen els segments tenen, per zones, diferents formes, que es poden anar estudiant i comptant per separat. Si bé no ens acaben de portar a una fórmula general ens permet anar avançant en l'exploració.
La fórmula general, per tots els casos, és:
El professor Jordi Font (@jfontgon) ens ha explicat que la sèrie formada per la quantitat de regions segons la quantitat de línies es pot visualitzar al triangle de Pascal sumant els cinc primers nombres de l'esquerra de cada fila. Aquesta sèrie també la podeu trobar a l'enciclopèdia de sèries numèriques (OEIS) identificada com la sèrie A000127.
