La papiroflèxia és un art. I un bon entreteniment. Ajuda als nens i nenes a la coordinació ull-mà i és una molt bona eina per aprendre i treballar la geometria a l'escola a diferents nivells. En aquest article us mostrem algunes idees bàsiques, com la construcció d'angles, de polígons i els punts notables d'un triangle. 

Rectes, segments i punts notables d'un triangle

Bisectrius

Són les rectes que parteixen un angle en dos angles iguals. 

Per construir-les plegant paper heu de fer coincidir dos costats del triangle un sobre l'altre, a partir de cadascun dels vèrtexs. Que s'obtenen dos angles iguals queda ben clar, pel fet de sobreposar-se un damunt de l'altre. 

Les tres bisectrius coincideixen en un punt: l'incentre. És el centre de la circumferència inscrita: la que toca (és tangent) els tres costats del triangle.  

Un repte per als més grans: com podem saber a quin punt de cada costat tocarà? 

Mediatrius

La mediatriu d'un segment és la recta que conté tots els punts equidistants dels seus extrems. És perpendicular al seu punt mitjà. És la propietat que farem servir per construir-la plegant paper.

 Així, en un triangle podem traçar tres mediatrius que partiran cada costat del triangle pel seu punt mitjà de manera perpendicular. Per construir-les, doncs, només hem de plegar cada costat per la meitat fent coincidir un vèrtex sobre l'altre. Marcant el plec obtingut tindrem la recta perpendicular en el punt mitjà (la mediatriu).

 Les tres mediatrius es troben en un punt, però aquest punt ens pot quedar a dins del triangle, a fora o fins i tot sobre un dels costats. El repte és saber dir a quin tipus de triangle trobem cada cas. 

El punt on es troben rep el nom de circumcentre, i és el centre de la circumferència circumscrita al triangle. La que passa per tots tres vèrtexs.

Mitjanes

Són les rectes que passen per un vèrtex d'un triangle i el punt mitjà del seu costat oposat. 

Per construir-les plegant paper heu de fer una petita marca al mig de cada costat, fent coincidir els dos vèrtexs. Després heu de plegar la recta que va des del vèrtex oposat fins aquest punt. No és un plec fàcil com els de plegar un angle o un costat per la meitat. Per això en aquest cas us recomanem que us ajudeu dibuixant primer el segment fent servir regle i llapis. 

 Al partir el costat per la meitat obtenim dos triangles que tenen la mateixa base (cadascuna de les meitats) i la mateixa altura. Per tant, dos triangles que tenen la mateixa àrea. I que, fets en material, "pesen" el mateix.

Al marcar les tres mitjanes obtindrem el baricentre del triangle, el seu centre de masses. Etimològicament l'arrel bari vol dir pesant, greu. D'aquí també la veu greu dels barítons. 

Feu un petit experiment: poseu el triangle damunt la punta d'un llapis, recolzat en el baricentre, i veureu que s'aguanta en equilibri. 

Altures d'un triangle

L'altura és un concepte que tots coneixem bé. Un edifici té una determinada altura. I nosaltres també. Qualsevol objecte real. És el que mesura des de terra fins al seu punt més alt. 

En el cas d'un triangle, hem de fixar-nos en que té tres altures. Depèn de quin dels tres costats posem "a terra" (triem com a base). 

L'altura s'aconsegueix traçant una perpendicular des del vèrtex, que serà el punt més alt, fins el costat oposat, que serà la base en aquella posició. 

Les tres altures també es troben en un punt. L'ortocentre. (orto- és una arrel que ve del grec i significa  "bé", "recte").

L'ortocentre també pot estar dins del triangle, a fora o sobre un vèrtex. En quin tipus de triangles està a cada lloc? 

Polígons regulars plegant paper

Podem construir-nos tot un seguit de polígons regulars plegant paper. 

El quadrat

El més senzill és el quadrat. La propietat que fem servir és que el quadrat té els costats iguals i els angles rectes. Per tant el que fem és portar el costat petit sobre el llarg, i tallem la part que ens sobra. 

El triangle equilàter

A partir d'un rectangle construim l'angle de 60º tal com hem explicat abans. A la part de dalt també surt un angle de 60º. Si anem plegant seguint les línies que van sortint, podrem fer una filera de triangles equilàters. 

El pentàgon regular

El podem construir fàcilment amb una tira de paper prou allargada com per poder fer-hi un nus. Si el feu amb cura i aneu ajustant tindreun un pentàgon perfecte. 

Fixant el centre del plec, portem el vèrtex sobre la línia del quart. 

El que té aquesta construcció és que ens permet veure que s'insinua un triangle equilàter a la dreta, perquè té dos costats iguals i un eix de simetria. Senzill i elegant. 

Aquest plec permet fer l'angle de 108º, del pentàgon regular, i el seu complementari, de 72º, per aproximació.
Una aproximació prou bona, ja que en realitat el que aconseguim és l'arc sin de 3/sqrt10, que és de 71,56º.