Plegar paper
La papiroflèxia és un art. I un bon entreteniment. Ajuda als nens i nenes a la coordinació ull-mà i és una molt bona eina per aprendre i treballar la geometria a l'escola a diferents nivells. En aquest article us mostrem algunes idees bàsiques, com la construcció d'angles, de polígons i els punts notables d'un triangle.
Rectes, segments i punts notables d'un triangle
Bisectrius
Són les rectes que parteixen un angle en dos angles iguals.
Per construir-les plegant paper heu de fer coincidir dos costats del triangle un sobre l'altre, a partir de cadascun dels vèrtexs. Que s'obtenen dos angles iguals queda ben clar, pel fet de sobreposar-se un damunt de l'altre.
Les tres bisectrius coincideixen en un punt: l'incentre. És el centre de la circumferència inscrita: la que toca (és tangent) els tres costats del triangle.
Un repte per als més grans: com podem saber a quin punt de cada costat tocarà?
Mediatrius
La mediatriu d'un segment és la recta que conté tots els punts equidistants dels seus extrems. És perpendicular al seu punt mitjà. És la propietat que farem servir per construir-la plegant paper.
Així, en un triangle podem traçar tres mediatrius que partiran cada costat del triangle pel seu punt mitjà de manera perpendicular. Per construir-les, doncs, només hem de plegar cada costat per la meitat fent coincidir un vèrtex sobre l'altre. Marcant el plec obtingut tindrem la recta perpendicular en el punt mitjà (la mediatriu).
Les tres mediatrius es troben en un punt, però aquest punt ens pot quedar a dins del triangle, a fora o fins i tot sobre un dels costats. El repte és saber dir a quin tipus de triangle trobem cada cas.
El punt on es troben rep el nom de circumcentre, i és el centre de la circumferència circumscrita al triangle. La que passa per tots tres vèrtexs.
Mitjanes
Són les rectes que passen per un vèrtex d'un triangle i el punt mitjà del seu costat oposat.
Per construir-les plegant paper heu de fer una petita marca al mig de cada costat, fent coincidir els dos vèrtexs. Després heu de plegar la recta que va des del vèrtex oposat fins aquest punt. No és un plec fàcil com els de plegar un angle o un costat per la meitat. Per això en aquest cas us recomanem que us ajudeu dibuixant primer el segment fent servir regle i llapis.
Al partir el costat per la meitat obtenim dos triangles que tenen la mateixa base (cadascuna de les meitats) i la mateixa altura. Per tant, dos triangles que tenen la mateixa àrea. I que, fets en material, "pesen" el mateix.
Al marcar les tres mitjanes obtindrem el baricentre del triangle, el seu centre de masses. Etimològicament l'arrel bari vol dir pesant, greu. D'aquí també la veu greu dels barítons.
Feu un petit experiment: poseu el triangle damunt la punta d'un llapis, recolzat en el baricentre, i veureu que s'aguanta en equilibri.
Altures d'un triangle
L'altura és un concepte que tots coneixem bé. Un edifici té una determinada altura. I nosaltres també. Qualsevol objecte real. És el que mesura des de terra fins al seu punt més alt.
En el cas d'un triangle, hem de fixar-nos en que té tres altures. Depèn de quin dels tres costats posem "a terra" (triem com a base).
L'altura s'aconsegueix traçant una perpendicular des del vèrtex, que serà el punt més alt, fins el costat oposat, que serà la base en aquella posició.
Les tres altures també es troben en un punt. L'ortocentre. (orto- és una arrel que ve del grec i significa "bé", "recte").
L'ortocentre també pot estar dins del triangle, a fora o sobre un vèrtex. En quin tipus de triangles està a cada lloc?
Angles plegant paper
L'angle de 90 º, el de 45º i el de 22,5º
Per fer un angle de 90º només necessitem un tros de paper qualsevol, plegar-lo per aconseguir una línia recta i plegar aquesta recta per la meitat.
Si anem plegant l'angle per la meitat obtindrem l'angle de 45º. I successivament la resta de les meitats. Però amb el gruix del plec anirem perdent precisió.
L'angle de 60º, el de 30º i el de 15º
Hi ha un plec molt senzill que ens permet obtenir l'angle de 60º. Hem de partir d'un rectangle de paper. Plegar-lo per la meitat pel costat més curt i tornar a obrir el plec. Així hem obtingut una recta que passa pel mig.
Fixant el vèrtex de baix a l'esquerra del rectangle, agafem el de dalt a l'esquerra i el portem sobre la recta que hem marcat abans. D'aquesta manera a baix ens queda un angle de 60 º.
Si el pleguem per la meitat podem obtenir el de 30º i el de 15º.
Un transportador d'angles plegant paper
Amb un quadrat de paper ens podem fer un transportador que ens pot servir per dibuixar o verificar angles de 60º, 45º... i molts més.
Una bona activitat consisteix en que, un cop ja tenim el transportador construit, donin la mida de tots els angles que apareixen al quadrat entre les rectes marcades pels plecs.
També és interessant que facin previsions de la mida dels angles a cop d'ull. Però aquest seria un altre tema que podem deixar per una altra ocasió. És un molt bon exercici d'argumentació, perquè han d'explicar les raons de perquè un angle té una amplitud concreta. I cada alumne pot trobar camins diferents per argumentar-ho: angles d'un triangle, oposats pel vèrtex, complementaris, suplementaris, comparació amb altres angles construïts...
Veureu com amb un plec que ja coneixem bé, el que ens permet construir un angle de 60º, podem trobar sobre el paper molts altres angles. Només hem de conéixer (i per tant, haver justificat i treballat prèviament a classe) el fet que els angles oposats pel vèrtex són iguals i que la suma dels angles d'un triangle fa 180º.
Aquesta propietat pot treballar-se de maneres diverses. Per començar ens sembla adient la que proposen també els companys de l'Institut Baix a Mar al seu bloc Matemàtiques Marines. És una bona manera d'entendre la "suma d'angles", pintant-los i situant-los un a continuació de l'altre.
Però depenent de l'edat dels alumnes, cal que no ens quedem amb "mostracions" que no passen de dir-nos que "en aquell triangle concret" la suma dels seus angles dóna 180º.
Us aconsellem que feu un pas més i ho demostreu, fent servir eines de geometria dinàmica com geogebra, i fent veure prèviament que dos angles oposats pel vèrtex són iguals i que si tracem una paral·lela a la base els angles de la base es poden traslladar damunt la recta traçada sense modificar la seva obertura. I moltes altres maneres de demostrar-ho.
Applet en Geogebra (Autor: Pep Espígol)
Applet en Geogebra (Autor: Manel Martínez)
Polígons regulars plegant paper
Podem construir-nos tot un seguit de polígons regulars plegant paper.
El quadrat
El més senzill és el quadrat. La propietat que fem servir és que el quadrat té els costats iguals i els angles rectes. Per tant el que fem és portar el costat petit sobre el llarg, i tallem la part que ens sobra.
El triangle equilàter
A partir d'un rectangle construim l'angle de 60º tal com hem explicat abans. A la part de dalt també surt un angle de 60º. Si anem plegant seguint les línies que van sortint, podrem fer una filera de triangles equilàters.
El pentàgon regular
El podem construir fàcilment amb una tira de paper prou allargada com per poder fer-hi un nus. Si el feu amb cura i aneu ajustant tindreun un pentàgon perfecte.
I per acabar, un repte.
Si tenim un full de paper Din-A4 podem construir dos cilindres diferents. Un de llarg i prim, pel llarg del full, i un altre, per l'ample.
Si els volem omplir, per exemple, de crispetes... a quin dels dos cilindres n'hi cabran més?
Feu la vostra hipòtesi, proveu-ho. I després feu un cop d'ull al vídeo.