El tangram de 8 elements
En aquesta proposta, a partir de la construcció del tangram de 8 elements que s'obté de la descomposició d’un triangle equilàter, mostrarem com fer un disseny pla utilitzant el programa de geometria dinàmica GeoGebra per exportar la construcció de manera que puguem fer la impressió de les peces. El fet d’utilitzar GeoGebra, un programa que pot ser conegut pels alumnes, ens permet treballar amb molta precisió construccions geomètriques que podrien ser més complexes de fer amb Tinkercad. Des de fa poc GeoGebra permet exportar directament en format stl per a fer la impressió dels objectes. Però aquesta exportació té algunes limitacions que, segurament, s'aniran solucionant en evolucions futures del programa. En aquest article trobareu com podem dissenyar i imprimir aquest tangram amb la versió de GeoGebra actual (febrer 2019). A la part inferior de l'article hi trobareu l'explicació de com fer-ho amb versions anteriors que no exporten arxius stl.
El tangram de 8 elements va ser inventat per Jaume Llibre. Ell mateix li va dedicar una llibre publicat a l’any 1973 que fa un estudi força exhaustiu del puzle.
Consta de 8 peces diferents que s'obtenen de dividir un triangle equilàter de 6 unitats de costat, que, a la vegada, es pot descompondre en 36 triangles equilàters petits. Les peces (2 triangles, 2 rombes, 3 trapezis i 1 hexàgon) estan formades per la unió d’aquests triangles. La més petita és un d’aquests triangles i la resta es fan combinant 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 triangles.
Disseny del tangram (1r mètode)
La forma més còmoda de fer aquest tangram és canviar la graella de GeoGebra a la isomètrica i dibuixar les 8 peces separades.
Un cop dibuixades caldrà amagar la graella. És un pas imprescindible perquè sinó també s'imprimiria en 3D. Un altre pas ineludible és reduir a zero les vores dels polígons, que també s'imprimirien. Pot ser convenient donar als polígons una opacitat màxima.
Només ens queda descarregar la construcció feta en format stl.
Ara ja hem acabat amb GeoGebra i podem passar a preparar la impressió. Però GeoGebra té, hores d'ara, una peculiaritat amb l'exportació a stl: no manté les mesures originals sinó que, encara que conservi la proporció, les modifica. Una de les mesures (longitud, amplada o alçada) la fa de 4 cm, i no sempre exactes. Això ens obliga a redimensionar les peces a una mida manejable. Cada impressora té un programari propi que permet fer-ho. Donat que no podem explicar tots els programes exemplificarem com fer-ho amb un programa intermedi, Tinkercad, que ja hem explicat en les propostes anteriors 1 i 2.
Obrim Tinkercad, ens registrem, i comencem un disseny nou. A continuació el que hem de fer és importar l'arxiu stl que hem creat anteriorment.
Podem reescalar a un 300% en el moment d'importar o bé reescalar tot el grup de peces des de la taula de treball de Tinkercad.
Ja només ens quedarà imprimir les peces.
Disseny del tangram (2n mètode)
Una qüestió important és que les peces d'aquest tangram o de qualsevol altre tencraclosques que dissenyem han d'estar separades, no han de tenir punts de contacte. El tangram de 8 elements és fàcil de dibuixar en peces separades però hi ha altres puzles que no. Una possibilitat és aplicar una translació a cada polígons. Una altra és exportar les peces una a una. Explicarem com fer-ho amb aquest mateix tangram de Jaume Llibre.
En aquests cas sortim d'una construcció en GeoGebra completa. Recordem que la diferència entre “construir” i “dibuixar” és que en el primer cas les relacions es mantenen encara que arrosseguem punts. Si “dibuixem” aquestes relacions es perden i la figura es deforma. Ja és una feina prou interessant la construcció que ens farà observar quines són aquestes relacions. Per altra banda hi ha diverses maneres de fer-ho que després es poden contrastar a l’aula.
Ara ens tocarà preparar cada peça del tangram per poder-la exportar com a arxiu imprimible stl. El primer que farem és amagar els punts i els segments que no necessitem tot deixant la peces preparades per a la seva impressió. Com abans donarem a tots els polígons una opacitat del 100% i una vora de zero.
Ara haurem d’exportar cadascuna de les peces de forma independent. Per fer-ho amagarem totes les peces menys la que vulguem exportar. Com a exemple començarem per exportar el triangle petit.
Amb el mateix mètode desarem cadascuna de les set figures restants. En el nostre cas hem anomenat els arxius p1.stl, p2.stl, p3.stl ... p8.stl segons la quantitat de triangles unitat que el formen.
Ens toca importar des del programa de la impressora però, com abans, nosaltres ho mostrarem des de Tinkercad.
Donat que cada peça ens surt de GeoGebra amb una mida màxima de 4 cm (aproximadament) a cada peça li haurem d'aplicar un percentatge de reescalament diferent perquè encaixin entre elles. Començarem per triangle més petit d'àrea 1 (p1.stl).
A aquest primer triangle li podem fixar una mesura que ens serveixi de referència per a totes les altres. Per exemple que el costat sigui de 2 cm (20mm). A l'importar observar que la mesura és de 40 mm (a una escala 100).
Si volem que sigui de 2 cm haurem de escalar a un 50%. A la taula de treball ens apareixerà la peça i amb l'eina de mesura de Tinkercad (regle) podem comprobar les mesures.
Hem de repetir la importació peça a peça. La peça 2 (el rombe de 2 triangles i en la posició d'origen) hauria de tenir una amplada de 30 mm i la té de 40. Per tant l'escalarem al 75% (30/40=0,75). Igual que abans podem comprovar les mesures
Les peces 3 i 4, que han de tenir una amplada de 4 cm es poden importar al 100%.
La peça 5, al ser importada, indica una longitud de 40 mm i una amplada de 30,79. Ens toca esbrinar quina és la longitud o amplada real que ha de tenir la peça. Sobre aquest esquema podem observar que l'amplada hauria de ser de 2 triangles (4 cm).
Si fem la proporció entre l'amplada que volem i la que tenim obtindrem el percentatge per escalar: 40/30,79 = 1,299... Un 129,9 %.
La peça 6, l'hexàgon, no té dificultats perquè té una amplada de 40 mm que és la que volem. Podem acceptar el 100 % que surt com a opció per defecte a l'importar l'arxiu.
La peça 7 té una amplada de 2,5 triangles unitat. Per tant haurà de tenir 50 mm d'ample. Tenint en compte que a l'importar- la té una amplada de 28,87 mm, l'escala a aplicar serà d'un 173,2 % (50/28,87 = 1,7319...).
És la mateixa que obtenim a la peça 8 amb amplades diferents; volem 40 mm i tenim 23,09 (40/23,09= 1,7323... És lògic perquè tenen la mateixa longitud (4 triangles unitat). GeoGebra havia exportat a 4 cm en la mesura màxima, la longitud.
Ara ja tenim el tangram complet. Si hem treballat amb el programa de la impressora ja el podem imprimir. Si ho hem fet amb Tinkercad només hem d'exportar el nou document stl.
Activitats amb el Tangram de 8 elements
- Dissenyar el tangram.
- Classificar les peces i dir quins angles interiors tenen. Determinar les seves simetries axials i rotacionals.
- Quines de les peces del tangram es poden reproduir amb la resta de peces?
- Buscar diferents solucions del triangle complet. Es poden fer altres triangles de forma diferent?
- Dir si es podria tessel·lar el pla amb cadascuna de les peces del tangram i argumentar la resposta.
- Construir els 5 polígons convexos que es poden fer amb totes les peces del tangram (un triangle, dos paral·lelograms, un trapezi isòsceles i un pentàgon irregular. Observar quin té el perímetre mínim i quin el màxim.
- Adjudicar a cada peça una fracció de l’àrea total i buscar equivalències de sumes.
- Partint del triangle petit construir-ne d’altres de proporcions 2:1, 3:1, 4:1, 5:1 i 6:1. Comparar aquestes raons amb les raons d’àrees.
- Comparar perímetres i àrees de les peces i ordenar-les amb els dos criteris.
Mateix perímetre (6) i àrees 4 i 6
- Inventar figures i compartir-les com a problemes. Un repte especial és fer figures “divisibles” en dues o tres parts, que es puguin fer amb dos o tres grups de peces, i combinar-les per fer una figura més gran.
Altres tangrams
- Tangram xinès. A l’ARC podem trobar diferents propostes de treball
Ovotangram. També a l’ARC en trobem propostes
- Tangram del Median. Podem trobar idees sobre aquest tangram al Blog del Puntmat.
Descàrrega de materials
- Tangram de 8 elements
- Tangram xinès
- Ovotangram
- Tangram mínim de Brügner
- Tangram del Median
Si GeoGebra no exporta stl...
Abans de que GeoGebra no exportés arxius directes per imprimir, un mètode factible per aconseguir-ho és el que explicarem a continuació. De la mateixa manera que en el procediment presentat anteriorment cada peça del tangram s'ha d'exportar una a una amb vora zero i opacitat 100%.
En aquest procediment no exportem (o descarreguem) les figures com stl sinó en format d'imatge Per fer-ho, com en el procediment stl, amagarem totes les peces menys la que vulguem exportar. A l’exemple exportarem l’hexàgon.
Apareixerà una finestra flotant i hem de triar l’opció d’exportar-lo com a “gràfic vectorial escalable (svg)”. És un format que permet canviar les mides sense que la imatge perdi qualitat. Per desar-ho haurem de donar un nom a la imatge. Per exemple “hexagon”. És millor posa noms sense caràcters estranys per evitar problemes en la posterior importació des de Tinkercad.
Una vegada exportades totes les peces del tangram podem passar a importar-les des de Tinkercad. La diferència és que ara importarem els arxius svg. Aquests arxius s'importen amb mesures molt grans. Convé canviar l'escala, per exemple a un 10%.
A la taula de treball ens apareixerà la peça però amb unes dimensions que caldrà revisar i que que en cas de dubte podem consultar a la peça dissenyada a Geogebra. En aquest cas, recordant que el programa indica les mesures en mil·límetres, la peça és massa petita.
Donat que des de l'àrea de treball de Tinkercad no podem redimensionar amb percentatges haurem de fixar les tres mesures: llargada, amplada i alçada. L’alçada la podem fixar en 4 mm. La llargada i l’amplada les haurem de calcular. Imaginem que el nostre triangle petit unitat el volem de 2 cm (20 mm). L’amplada, per la col·locació de l’hexàgon, sabem que és de “dos triangles”: 40 mm. Per calcular la llargada haurem de calcular quina li correspon a l’hexàgon: dues altures del triangle unitat, dues apotemes. Aplicant el teorema de Pitàgores podem esbrinar que la llargada ha de ser de 34,64 mm.
Procedirem de la mateixa manera amb la resta de peces. Observarem que podrem reutilitzar mesures per calcular llargades i amplades però que per fer els càlculs s’han de mirar molt bé les característiques de la peça en la construcció tenint en compte com queden col·locades. Un bon problema d’aula també.
Sempre cal situar les peces prou separades per evitar problemes amb la impressió final.
