El 23 de gener de 1862 naixia a Köningsberg el matemàtic alemany David Hilbert. Va ser un dels matemàtics més influents del segle passat. A l’estiu de l’any 1900 pronuncià una conferència al Congrés Internacional de Matemàtiques de Paris on plantejà els que considerava 23 problemes clau per a resoldre en el segle que començaria i que van determinar de forma molt clara part de les matemàtiques que realment es van fer posteriorment. Va morir el 14 de febrer de 1943.

Va treballar a la universitat de Göttingen, el centre d’investigació matemàtica més important de l’època. En matemàtiques el seu cognom apareix relacionat amb molt conceptes matemàtics: parlem dels Espais de Hilbert, del Teorema fonamental de Hilbert, les formes modulars de Hilbert, cos de classe de Hilbert... i del Programa de Hilbertun intent de formalitzar la matemàtica.

Propostes per a l’aula

• Comentar la conferència del 1900 i la selecció dels 23 problemes que va fer. Fer cercar quins estan resolts, quins no... Es pot aprofitar també per comentar o fer descobrir altres llistes com la dels problemes del mil·leni de l’Institut Clay de Matemàtiques.
• Investigar sobre alguns dels termes i conceptes matemàtiques associats amb el nom de Hilbert, com els que hem comentat a la introducció.
• Treballar la “història” de l’hotel infinit. És un exemple creat per Hilbert per posar en evidència les paradoxes que es produeixen al treballar amb conjunts infinits. Es por tractar fins i tot a primària. Un exemple bàsic és que si a un hotel amb 100 habitacions plenes apareix un nou hoste no podrà ser allotjat, però a un hotel amb infinites habitacions, totes ocupades, només cal passar l’hoste de l’habitació 1 a la 2, el de la 2 a la 3 i així successivament. La 1 quedarà lliure i tothom tindrà habitació. I si després apareixen 100 hostes més passaríem l’hoste de la 1 a la 101, el de la 2 a la 102... i quedarien les 100 primeres lliures per encabir encara als nous hostes. I, per acabar, si venen infinits nous hostes podem moure a cada hoste actual a una habitació doble dels seu número (1 a 2, 2, a 4, 3 a 6...). Totes les infinites habitacions senars quedarien lliures.

També tenim aquest altre vídeo que ens ha enviat el professor David Piñol.

• Dibuixar una corba de Hilbert, una corba fractal que s'obté per aplicació d'un procés de construcció iteratiu.

• Comentar algunes anècdotes o cites de Hilbert. Per exemple hi ha una anècdota força coneguda que explica que a una festa a casa seva va pujar a l'habitació per canviar-se de camisa i que quan va arribar a dalt es va oblidar de la festa. Quan el van anar a bsucar perquè no tornava el van trobar al llit, en pijama i dormint. Algunes de les seves frases més conegudes són aquestes:

"La Física és massa important per ser deixada als físics"

"Raonar en geometria és raonar amb figures mal fetes"

"Si em despertés després d'haver dormit durant mil anys, la meva primera pregunta seria: ¿Ha estat demostrada la hipòtesi de Riemann?"

"Hem de saber. Sabrem" (epitafi de la seva tomba)

• Treballar el problema de Waring, una de les primeres demostracions importants de Hilbert. També permet treballar-se a primària. El matemàtic anglès E. Waring va conjecturar al 1770 que si volem descompondre un nombre natural en una suma de potències d'exponent 2 no necessitarem mai més de 4 sumands. Si ho volem fer en potències d'exponent tres el màxim que necessitarem seran 9 sumands. I si volem utilitzar quartes potències el màxim és 19. En general, conjecturava, cada exponent tindrà associat un nombre màxim que dependrà d’ell. Hilbert va demostrar que la conjectura era certa. Podem ampliar als enllaços la informació sobre aquest interessant problema (en el que van intervenir Fermat, Lagrange. Hardy i Littlewood...) però a classe podem practicar exemples o investigar: quin és el nombre més petit que necessita quatre quadrats? I 9 cubs? Quants en necessiten tres quadrats? I només dos?... I així altres preguntes que puguin sorgir a la classe.

També hi ha un joc aritmètic per a primària utilitzant concretament la propietat de que només calen quatre quadrats, com a molt, per descompondre un nombre. El trobem al llibre de text per a 6è d'EGB Àbac de David Barba (Barcanova, 1983). Calen fitxes i un dau. Es comença amb 10 fitxes i el primer jugador tira un dau. Si, per exemple surt un 3 ha d'afegir 3 fitxes a la pila i disposar-les fent, com a molt, quatre quadrats (éssent l'1 un nombre quadrat). A continuació tira el següent jugador i procedeix igual. Guanya qui formi un quadrat perfecte (16, 25, 36....)

Lectures

• El reto de Hilbert de Jeremy J. Gra, llibre que tracta amb detall la història i la tipologia dels 23 problemes triats per Hilbert

• Hilbert. Matemático fundamental de J.M. Almira i J.C. Sabina de Lis

• Hilbert. Matemático fundamental de J.M. Almira i J.C. Sabina de Lis
• David Hilbert y el formalismo, article de Diego Pareja (en pdf)
• Rosquillas anudadas de Martin Gardner. El capítol 18 està dedicat als problemes de Waring.
• Números y figuras. de H. Rademacher i O. Toeplitz, dedica el capítol 9 al problema de Waring i conté una demostració del cas dels quadrats.

Enllaços

• Hilbert a la Viquipèdia
• Hilbert a MacTutor History of mathematics
• Problema de Waring
  • Entrada al bloc Gaussianos
  • Sobre el problema clásico de Waring, article de Catalina Calderón
• Corba de Hilbert
  • Applet amb GeoGebra