En aquesta nova proposta introduirem un nou programa de disseny 3D amb opcions de de construcció d’objectes que no apareixien amb el programa utilitzat en propostes anteriors. Es tracta d’un altre software gratuït: Sketchup. Per iniciar-nos amb aquest programa començarem treballant algunes de les seccions d’un cub i d’un tetraedre.

Encara que existeix un editor en línia (SketchUp Free) accessible des del web d’Sketchup recomanem instal·lar el programa a l’ordinador des d’aquest altre enllaç (https://www.sketchup.com/download/all). Entre les diferents versions a descarregar cal triar SketchUp Make 2017, que és la versió gratuïta per a ús no comercial. Existeix una versió en castellà tot i que quan s’instal·la, com a mínim actualment, apareix en anglès. Cal avisar que la instal·lació pot ser una mica lenta. Un cop instal·lat, en obrir el programa apareix una pantalla com la que es veu a la imatge inferior. Si és la primera vegada que l’obrim convé triar una plantilla. Recomanem triar Woodworking-Millimeters.

Quan s’obre la pantalla del programa veiem la zona de treball, la barra d’eines, un menú superior desplegable i una segona barra amb altres opcions. Pot ser molt útil anar mirant els suggeriments de l’ajuda els primers cops que seleccionem alguna de les eines.

Mostrarem algunes de les eines que farem servir en aquests primers dissenys.

Secció d’un cub en forma d’hexàgon regular

Començarem dissenyant el cub. El primer que hem de fer és seleccionar l’eina Rectangle i fer un primer clic amb el cursor sobre el punt d’encreuament dels eixos. Arrossegant el cursor sobre el pla horitzontal veurem que es va traçant un rectangle. En aquest moviment es pot observar que, de vegades, apareixen unes diagonals. Aquestes només són visibles quan estem fent un quadrat o un rectangle auri. També podem fer el quadrat si premem de forma contínua la tecla de majúscules. Tot i així, ara el farem d’una altra manera per poder fixar les mesures.

Si volem obtenir un quadrat d’una mida determinada, en el nostre cas 10 cm, una manera de fer-lo és marcar el punt d’inici d’un vèrtex, deixar el cursor quiet sobre aquest punt (veurem que a la casella de mesures s’indica 0,00mm;0,00mm), escriure amb el teclat “100;100” (que veurem apareix escrit a la casella de mesures) i fer “enter”. És important que els dos nombres estiguin separats per un punt i coma. Si ho hem fet bé tindrem dibuixat un quadrat de 10 cm. Insistim: no cal posar el cursor a la casella de mesures, senzillament escrivim els números amb el teclat.

Veurem que el quadrat ens ha quedat visualment petit. L’única cosa que hem de fer és acostar-nos amb l’eina lupa (o girant la rodeta del ratolí) i, si volem, recol·locar la pantalla amb la icona de la mà que permet desplaçar l’àrea de treball.

Ara agafarem l’eina per donar volum, col·locant-la a sobre del quadrat (veurem que queda seleccionat) i estirant cap a dalt. A la imatge no es veu l’eina però la fletxa ens indica com anar estirant. Si arribem a l’altura desitjada només cal fer clic, però nosaltres no ho farem encara perquè volem una mida concreta: 100 mm.

Per obtenir el cub parem sense fer clic on vulguem, escrivim al teclat “100” i fem enter.

Ara començarem a fer el tall. Per aconseguir una secció en forma d’hexàgon regular cal que anem dibuixant segments continus que tallin sis arestes en el seu punt mig.

Seleccionem l’eina llapis que ens permet dibuixar línies. Si ens acostem a una aresta veurem que quan passem pel punt mig ens l’assenyalarà. Fem clic i anem a buscar una altra aresta per fer el segon clic en el seu punt mig. Si no ens indica clarament el punt mig veurem, en tot cas, que la línia canvia de color.

Girem el cub per millorar la visió i tracem un segon segment.

Continuem girant el cub i dibuixant els quatre segments que falten fins enllaçar amb el primer punt que havíem marcat. Veurem que el programa ens va ajudant a trobar interseccions i punts mitjos.

Ara eliminarem els trossos de superfície i les línies que no necessitem. Veurem que quan eliminem una superfície ens deixarà les línies “flotant” i que també les haurem d’esborrar. Per eliminar només cal seleccionar i suprimir.

Per acabar, amb l’eina de mesura (una petita cinta mètrica), podem comprovar que tots els costats de l’hexàgon són iguals. Per fer-ho només cal marcar els dos extrems del costat.

Si volem, ja podem desar la construcció feta. Però per poder-la imprimir encara hem de fer un pas: exportar-la a format stl. Si és la primera vegada que ho volem fer veurem que Sketchup no està preparat inicialment per fer aquesta exportació. Haurem d’instal·lar una extensió que ens ho permetrà. Aquesta extensió la podem descarregar des del web del fabricant del programa i ens haurem de registrar. Aquest registre és gratuït i també permet treballar de forma completa amb la versió en línia. L’enllaç per descarregar l’extensió és el següent: https://extensions.sketchup.com/en/content/sketchup-stl

Després haurem d’instal·lar l’arxiu des del gestor d’extensions.

Un cop fet aquest pas ja podem exportar l’arxiu al format stl per imprimir-lo. Quan fem l’exportació podem acceptar les opcions que ens dona per defecte. Convé imprimir-se dues peces per poder formar el cub complet.

Descomposició del cub en tres piràmides

Hi ha diferents maneres de fer aquesta construcció. Podríem començar pel cub i anar suprimint trossos o dissenyar la piràmide directament. Ho farem amb aquest segon mètode.

Com abans dibuixarem un quadrat de 100 mm i, un cop fet, triarem l’eina “línies” (amb un llapis). Marcarem l’extrem inferior i anirem movent el cursor sobre l’eix vertical (de color blau). A la vegada escrivim “100” en el teclat i fem “enter”. Tindrem un segment perpendicular a la base.

A continuació tracem un altre segment que uneixi un altre dels vèrtexs de la base amb l’extrem superior del que hem creat fa un moment. Veurem que automàticament s’omplirà la nova cara cara creada.

Només ens queda unir els altres dos vèrtexs a aquest mateix punt.

Per reconstruir el cub haurem d’exportar al format stl i, posteriorment, imprimir tres peces.

Secció quadrada del tetraedre

Aquesta descomposició dona lloc a un trencaclosques molt curiós ja que, en general, plantejat com a problema, no és immediat reconstruir el tetraedre.

Començarem dibuixant un triangle equilàter. Per fer-ho seleccionarem l’eina “polígon” que trobarem desplegant la de “línies”

Un cop seleccionada marcarem el “centre” del polígon. Aquest centre és el de la circumferència que el circumscriu. Un bon lloc per triar com a centre pot ser la intersecció dels tres eixos. Per disminuir la quantitat de costat que surten per defecte hem de tocar les tecles “Ctrl” i“-” tantes vegades com calgui. I si volem una mida concreta, per exemple 6 cm, escriurem amb el teclat “60”. També pot ser convenient col·locar el vèrtex final del radi sobre un dels eixos. Si ho fem bé, i després d’augmentar la imatge, arribarem a aquest resultat:

Una de les formes de construir el tetraedre serà calcular la seva altura aplicant el teorema de Pitàgores. Sabem que el radi és de 60 mm (per construcció) i podem mesurar el costat (amb l’eina que té una “cinta mètrica”). Obtindrem que fa 103,9 mm. El radi serà un catet i el costat la hipotenusa. Després de fer el càlcul sabrem que l’altura ha de ser de 84,82 mm. Amb la pròpia eina “cinta mètrica” podem traçar aquest segment al mateix eix vertical, perpendicular des del centre del triangle base clicant sobre aquest punt, marcant la direcció i teclejant, a la vegada, la seva mesura. Aquest segment no forma part de la construcció; només és una línia d’ajuda.

Només queda traçar amb l’eina “línia” les tres arestes que falten i observar com es van dibuixant les cares.

Ara traçarem les línies que tallaran el tetraedre. Es tracta de d’unir els punts mitjos de quatre de les arestes “fent la volta” al tetraedre.

Només queda eliminar una de les meitats del tetraedre, cara a cara i aresta a aresta. Per facilitar la impressió és millor deixar la meitat que està millor recolzada sobre el pla horitzontal.

Activitats a l’aula

• Seccions del cub. Es pot investigar sobre les seccions del cub: amb quines condicions podem obtenir quadrats, rectangles, rombes, triangles (entre ells l’equilàter), pentàgons o hexàgons (entre ells el regular). Aquesta investigació la podem complementar amb algun applet que estudiï aquestes seccions per després reproduir-les amb SketchUp i, si ens convé, imprimir alguns dels resultats. Se’n poden trobar molts fets en GeoGebra. Un bon exemple és el que creat per Manuel Sada i que trobareu en aquest enllaç.

Un altre exemple diferent, que no està fet amb GeoGebra, és aquest d’InterActivate força configurable.

• Seccions d’altres poliedres. Es poden dibuixar altres poliedres, especialment piràmides i prismes, i investigar quines seccions podem obtenir.
• Altres eines del programa. Es pot investigar el propi programa i algunes de les eines que no hem explicat. Per exemple, com faríem un con? I les seccions còniques?

Descàrrega de materials

• Secció hexagonal del cub

• Dissecció del cub en tres piràmides

• Secció quadrada del tetraedre