Rajoles i Mosaics

Estudiar les tesel·lacions del pla és una activitat de geometria de gran interés tan a primària com a secundària, ja que permet diferents tipus d’aprofundiment. Diem que una figura tesel·la el pla quan el recobreix perfectament, sense deixar espais ni fer superposició de peces. És un tema que ha aparegut a alguns vídeoMATs que ens poden donar idees sobre com abordar el tema a l’aula. Us en comentem alguns i els completem tot donant alguns suggeriments sobre possible ampliacions.

Al vídeoMAT Com es fan les rajoles i els mosaics? des de l’escola Maria Mercè Marçal de Mataró ens mostren com dissenyen les seves rajoles (dividint un quadrat en dues, quatre o vuit parts iguals) i alguns dels enrajolats que poden formar unint-les de diferents formes. Al mateix vídeo veiem alumnes de 6è dissenyant rajoles més complexes.

Al vídeo apareix un tipus de divisió del quadrat en dues parts iguals: amb una diagonal o dividint-lo en dos rectangles.

El model tallat per la diagonal es coneix com a rajola catalana, també coneguda com a “rajola de cartabó”, “rajola de Truchet” i, a Mallorca, com “rajola de mocadoret”. És una rajola que permet una gran variació de dissenys. Per exemple, cada banc del Passeig Marítim de Sitges ens mostra un de diferent. Al bloc del Puntmat trobem un article que en parla i fa suggeriments d’aula.

També a l’ARC trobem una proposta per educació infantil elaborada per Isabel Sorigué i Bernat Ancoechea: “Fem un terra de rajoles (amb GeoGebra)”

De la divisió d’un quadrat en dues parts iguals se’n poden derivar bones activitats d’investigació:

De quantes formes podem dividir un quadrat en dues parts iguals? Aquesta pregunta general la podem plantejar amb preguntes inicials més particulars: fent-ho sobre una quadrícula de 4x4 i obligant a seguir les línies del quadriculat (hi ha 6 solucions diferents), sobre paper quadriculat, sobre fons blanc, amb GeoGebra...

Si les dues parts han de ser contínues es pot arribar a descobrir que la línia de divisió ha de passar pel centre del quadrat i que, tenint com a centre aquest punt, la línia presenta una simetria central. Per tant, hi ha infinites solucions.

A l’INS Baix a mar podeu trobar experiències documentades al seu bloc, Matemàtiques marines: “Enrajolem”, “Enrajolem2” i “Enrajolem de nou”. Comencen suggerint als nois i noies partir un quadrat en dues parts iguals amb un únic segment:

A continuació podem proposar fer divisions en quatre parts iguals.

En aquest cas podem afegir condicions i partir-lo tal com ens proposen els companys de MATGI al taller “Com retallar un quadrat” presentat al C2EM 2016. Per exemple partint d’un quadrat quadriculat de 4x4 i seguint les línies de la quadrícula i obtenen dissenys com aquests:

També trobem una activitat en aquesta línia a l’Arc, “Àrees iguals” en que fent servir geoplans de 2x2 punts o GeoGebra parteixen el quadrat amb segments. Aquesta vegada no s’imposa que les parts tinguin la mateixa forma.

A la segona part d’aquest vídeoMAT els nois i noies de cinquè i sisè dissenyen rajoles modernistes per decorar les cases que han construït.

Realment, i tal com diuen ells mateixos, d’un senzill disseny es pot obtenir un resultat espectacular. Unint tecnologia, plàstica, matemàtiques... aconseguim una bona proposta STEAM.

Trobareu aplicacions per a tablet i ordinador que permeten fer dissenys aplicant translacions, simetries i girs al traç que fem sobre la rajola. El model està fet amb l’app amaziograph, disponible per ipad.

Podem ampliar el tema si estudiem els mosaics regulars i semirregulars com ens proposen els els nois i noies de l’INS Rafael de Campalans d’Anglès al vídeoMAT Només es poden enrajolar parets amb quadrilàters?

Un dels aspectes que analitzen són la suma dels angles dels polígons que conflueixen en un vèrtex. Podeu fer pràctiques fent servir material manipulatiu, com el Pattern Blocks.

I si fem un salt i relacionem els mosaics amb la natura, com han fet els alumnes de l’INS Torredembarra amb el vídeoMAT Per què les cel·les de les abelles tenen forma hexagonal?

Aquest tema també el van abordar… Per què les vespes fan les cel·les hexagonals i no quadrangulars? Escola l’Esquirol (Ogassa, Girona) a partir d’un rusc de vespes que van tenir a l’escola.

Com ja veieu, hi ha moltes preguntes per continuar investigant:

• Dins els quadrilàters, només enrajolen els quadrats i rectangles? Mireu aquesta proposta de la web de Mathstat
• Quins mosaics podem fer combinant diferents polígons regulars? Tesel.les regulars
• El pentàgon regular no tessel·la el pla, però quants tipus de pentàgons enrajolen?
• Hi ha altres mosaics periòdics a part dels que podem generar amb polígons regulars? José Antonio Mora ens proposa, per exemple, treballar amb mosaics de l’Alhambra i geogebra.
• Quines tècniques feia servir Escher per crear tessel·les? Proposta de l'IES Sandoval.
• Si ens centrem en aspectes relacionats amb la mesura, com podem enrajolar una habitació d’unes mides determinades amb rajoles quadrades sense trencar-ne cap?