En aquesta proposta veurem com un senzill problema de recreació matemàtica es pot anar estirant cap a “nous territoris” propiciant tot de descobertes noves. El problema, que es pot proposar des del cicle mitjà de primària, és el següent:

Tenim els nombres de l’1 al 9. Triem quatre d’aquests nombres, sense repetir-ne cap, i els col·loquem a una graella de 2x2. Horitzontalment fan dos nombres de dues xifres i verticalment dos més. Després sumem els quatre nombres obtinguts i mirem la suma. En aquest exemple amb els nombres 1, 4, 7 i 8 veiem que la suma obtinguda, amb els nombres de dues xifres, és 184.

El repte inicial és situar quatre nombres i obtenir de suma el 100.

El més normal és començar a tot fent proves. Es podrà veure que no totes les caselles tenen el mateix “pes” en la suma. Aquesta imatge ens dóna una idea sobre la influència de cada número en la suma total.

Aquestes observacions ens poden portar a pensar, pel cas del 100, que a les caselles que afecten a les desenes hi ha d’haver nombres petits.

Explicació i solucions de l'activitat al final de la pàgina (1)

A partir d’aquí podem començar a fer-nos preguntes que ens portaran a noves exploracions, de diferents graus de dificultat, o a autèntiques investigacions, si arribem a justificar les respostes de forma inequívoca.

Quina és la suma més gran que puc obtenir? I la més petita?

Si s’han observat els diferents “pesos” de les caselles en la suma total no és difícil arribar a les solucions bàsiques.

Explicació i solucions de l'activitat al final de la pàgina (2)

Entre aquests dos resultats... es poden obtenir tots els nombres?

Una possibilitat és fer variacions petites a partir d’una solució i observar com “salten” les solucions. Per exemple, podem partir de la solució mínima i anar augmentant les unitats de la casella inferior dreta (la de menys influència en l’augment de la suma).

Podem veure que les solucions “salten” de dos en dos. Si intentem trobar solucions per als nombres que ens falten (84, 86...) no ens en sortirem. Encara que això no prova del tot que no hi hagi solucions, la conjectura s’intueix ferma.

Una ampliació per a primària

La Cecília Calvo, del PuntMAT, ens ha passat l’enllaç d’un applet amb aquest problema. A l’applet es proposa un resultat “objectiu” i hem de col·locar els nombres. Aquí podem comptar amb el zero i, a més, repetir nombres.

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/students/LemonLaw/

Amb un conjunt de quatre xifres concretes, quants resultats diferents puc obtenir?

Aquí jugarem una mica amb la combinatòria tot eliminant la diagonal secundària perquè l’ordre en que col·loquem els nombres no influeix en el resultat total.

Podem començar amb un cas concret, per exemple amb els nombres 1, 2, 3 i 4.

Solucions i noves preguntes de l'activitat al final de la pàgina (3)

De què depèn que la suma total sigui parell o senar?

Hem d’anar mirant els casos recollits i buscar la pauta. Només us en donem una pista: depèn exclusivament dels nombres que hi hagi en aquesta diagonal.

Hi ha una manera de fer la suma ràpidament?

Aquesta activitat és més pròpia per fer-la a partir de 3r d’ESO perquè l’àlgebra ens pot ser de gran ajuda. Això no vol dir que no es pugui descobrir per “assaig i millora” a partir de molts casos i veure quin paper numèric juga cada casella o cada grup de caselles.

L’estudi algebraic a més, com veurem més endavant, ens ajudarà a desvetllar altres “misteris” d’aquest problema.

Solucions de l'activitat al final de la pàgina (4)

Les solucions que hem trobat pel 100 són les úniques?

Observar la fórmula obtinguda anteriorment ens dóna orientacions sobre les característiques dels nombres que afecten a la suma total. Mirem-ho algebraicament.

Què ens diu aquesta fórmula: 2·(10a+d)+11·(b+c)?

• El nombre es pot descompondre en dos sumands.
• El sumand 2·(10a+d), és parell i juga amb els nombres de la diagonal principal.
• L’altre sumand, 11·(b+c), és múltiple d’11 i juga amb els nombres de la diagonal secundària.

Solucions de l'activitat al final de la pàgina (5)

Què passa amb la suma de les xifres ?

Us convidem a observar una altra propietat.

Si agafem les quatre solucions que donen 100 i sumem les seves xifres veurem que sempre donen 14.

1+2+4+7 = 1+2+3+8 = 14

Si busquem totes les solucions per a 200 (hi ha 11) i sumem les seves xifres en tots els casos la suma és 19. Les donem en ordre a, b, c, d.

7+1+3+8 = 6+2+4+7 = 6+1+5+7 = 4+1+9+5 = 4+2+8+5 = 4+3+7+5 = 3+5+4+7 = 2+6+8+3 = 2+5+9+3 = 1+7+9+2 = 19

Passarà sempre? Per què?

Encara més preguntes

• És possible saber la suma de les xifres a partir del resultat?
• A cada suma de xifres li correspon a un sol resultat?

I una que ens ha quedat pendent:

• És veritat que no es poden aconseguir totes les sumes entre 83 i 357?

Programar

Aquest problema també ens ofereix la possibilitat de practicar la programació amb l'alumnat. Podem fer-ho a dos nivells. El més senzill és crear un programa, per exemple amb Scratch, que calculi la suma per a quatre nombres donats.

Veure com està fet el programa

Un altre una mica més complicat pot ser el de fer-ne un que trobi totes les solucions per a una suma donada. A continuació teniu un exemple de programa. Estudiar com està fet també pot servir per aprendre'n a fer-ne de nous.

Veure com està fet el programa

Solucions

(1) Explicació de l'estratègia del joc al final de la pàgina Solucions pel 100

Si posem a treballar a tot el grup classe és molt possible que apareguin les quatre solucions existents per al 100. Encara que, com podeu veure, són bàsicament dues amb una petita variació, ja que l’ordre en que posem els números a les caselles de la diagonal secundària, blava i verda, no afecten al resultat.

(2) Solució de l'activitat La suma més gran

(3) Solució de l'activitat Els casos diferents

Podrem descobrir que hi ha 12 casos “bàsics” diferents.

Observem que hi ha només 6 resultats diferents 83, 92, 101, 119, 128 i 137. Al tenir-los ordenats descobrirem que van de 9 en 9 però amb una “absència”, el 110. Això dóna peu a noves preguntes relacionades amb aquesta. Passarà el mateix amb altres nombres? Si provem amb 3, 4, 7 i 9 descobrirem que tenim 12 resultats diferents, entre 199 i 307, que també van de 9 en 9 i que ens falta el 253. Us convidem a descobrir una pauta que ens permet saber quantes sumes diferents hi haurà i quin resultat ens faltarà. Us convidem a buscar-la.

(4) Solució de l'activitat Fer la suma ràpidament

Comencem per anomenar a, b, c i d a cada nombre i a expressar algebraicament cadascun dels quatre nombres de dues xifres que es formen.

A continuació podem fer la suma dels quatre nombres i simplificar-la:

(10a+b)+(10c+d)+(10a+c)+(10b+d)

20a+11b+11c+2d

2·(10a+d)+11·(b+c)

Ja tenim un fórmula general per fer la suma ràpidament que, “llegida”, “interpretada”, encara és més ràpida d’utilitzar: calculem el doble del nombre de dues xifres format per la diagonal principal i li afegim la suma dels nombres de la diagonal secundària multiplicada per 11.

Ja tenim un fórmula general per fer la suma ràpidament que, “llegida”, “interpretada”, encara és més ràpida d’utilitzar: calculem el doble del nombre de dues xifres format per la diagonal principal i li afegim la suma dels nombres de la diagonal secundària multiplicada per 11.

(5) Solució de l'activitat Les solucions trobades pel 100 són úniques?

Apliquem això a estudiar les possibles solucions per 100. Per fer-ho descompondrem el 100 ens dos sumands de manera que un sigui múltiple d’11.

1+99, 12+88, 23+77, 34+66, 45+55, 56+44, 67+33, 78+22 i 89+11

Podem eliminar uns quants casos d’una tacada. Si recordem la fórmula, la part 2·(10a+b) ens indica que aquest sumand és parell. Per tant podem treure tots els casos en que el primer sumand és senar. Ens queden els següents.

12+88, 34+66, 56+44, 78+22

Cadascun dels sumands de la descomposició dóna pistes dels números d’origen. Del número de dos dígits, de la diagonal principal, que multipliquem per 2 i de la suma de nombres de l’altra diagonal que multipliquem per 11.

Estudiem cas a cas.

• El primer el podem eliminar perquè a l’esquerra ens queda un número d’una xifra i ha de tenir-ne dues.

• El segon ens ofereix una mica més de joc. A l’esquerra tenim un nombre de dues xifres. El de la dreta l’hem de descompondre en dos sumands, fets amb nombres que no estiguin en el primer, perquè no poden haver-hi repeticions. Del tres cassos possibles, amb els nombres 1, 7, 2 i 4, només una ens crea una solució factible.

Els nombres vàlids són 1, 7, 2 i 4. D’aquí podem generar dos quadres.

• El tercer cas ens proporciona dues solucions més.

• El quart no proporciona solucions

Ja ho tenim. Per a 100 només tenim quatre solucions diferents. Aquest mètode, a més, ens pot servir per trobar totes les solucions de qualsevol suma donada