Continuem amb la proposta anterior sobre estratègies de resolució de problemes tot afegint alguns comentaris sobre actituds a fomentar i donant algunes idees sobre com podem intervenir a l’aula.

Treballar amb objectes – Manipular

Com en el cas anterior hi ha investigacions que surten directament d’un material. Des de jocs on calen tauler i fitxes, a problemes plantejats a partir dels cossos de l’espai. Si en comptes d’explicar la relació d’Euler (en qualsevol poliedre la suma de les cares més els vèrtexs és dues unitats superior a la quantitat d’arestes) la fem “descobrir” ens caldrà proporcionar cossos reals per comptar cares, vèrtexs i arestes. És molt difícil plantejar a partir de dibuixos aquest recompte. Si la nostra intenció és descobrir quants deltàedres convexos existeixen (poliedres fets exclusivament amb triangles equilàters), necessitarem materials amb triangles encaixables.

Hi ha ocasions en els que un material simplifica la resolució. Encara que no sigui una investigació, resoldre un quadrat màgic és més fàcil si retallem uns nombres que es poden anar canviant de lloc. La investigació que hem proposat abans sobre el recompte de quadrats en una quadrícula de 8x8 es pot facilitar amb quadrats dibuixats sobre paper vegetal que es podran anar desplaçant.

També es pot jugar amb simulacions fetes amb ordinador. Per exemple, es pot investigar amb una simulació amb GeoGebra si són igual de llargs tots els camins que uneixen dues cases que estan al mateix costat d’un riu i però que han de passar abans pel riu, per exemple perquè hem d’omplir un càntir d’aigua, i, a partir d’aquí intentar buscar quin és el camí més curt, quin el més llarg, quines característiques tenen aquests camins...

En ocasions podem combinar la manipulació real amb la virtual. Per exemple, si proposem investigar el volums que s’obtenen “tancant una caixa” a partir d’un quadrat o un rectangle al que li retallem les puntes, podem començar investigant sobre paper quadriculat i retallant directament sobre el paper.

Als cursos superiors d’ESO podem continuar la investigació sense el límit de la quadrícula i ens podem ajudar d’una simulació amb GeoGebra i fer exploracions sobre els creixements i decreixements, màxims, mínims, el gràfic associat...

A batxillerat podem crear la funció, fer el gràfic, estudiar màxims i mínims, estudiar el gràfic de la funció derivada...

Començar des del final – Suposar el problema resolt

Si se sap quin és el final del problema es pot intentar esbrinar les característiques de la solució per mirar com s’hi pot arribar. Això pot ser molt útil en problemes de construcció geomètrica.

En l’anàlisi d’alguns jocs acostuma a ser una bona estratègia analitzar-los des de les darreres jugades i anar retrocedint cap al principi. No només s’aconsegueix una reducció del problema ja que, un cop situades jugades guanyadores o perdedores a la part final de joc, es podrà retrocedir una per una a jugades anteriors fins a determinar una estratègia global. Per exemple en el joc del Golf (agafant d’una pila alternadament cada jugador 1, 2 o 3 fitxes arribar a deixar-la neta) o en el de l’Abellot (un joc sobre tauler en el que qui porta la fitxa a la casella final guanya).

Diagrames en arbre

És una tècnica que pot ajudar a estudiar ordenadament diferents alternatives sense deixar-se’n cap o a llistar i recomptar combinacions i ordenacions diferents. En problemes de probabilitat pot ser una eina essencial per comptar tots els casos possibles. Per exemple, en una investigació que tractar de mirar si en una família amb quatre fills és més probable tenir tres d’un mateix sexe que dos de cada.

Pot ser útil per estudiar un joc com el Ta-te-ti més u (un tres en ratlla amb una casella de més). També ens pot servir per anar explicant l’estratègia.

Mirar de quines eines disposem

Algunes de les estratègies que hem presentat també són, en certa manera, eines. Un diagrama en arbre o una taula ho són clarament, però mirar si abans hem resolt un problema semblant, també. Hi ha moments en que hem de recórrer a coneixements que tinguem: operacions aritmètiques, resolució d’equacions, fórmules que coneguem, tipus de creixement (lineal, exponencial, logarítmic..), etc. Per exemple, el conjunt d’investigacions Dividir per vèncer demanen recórrer, en algun moment als nostres coneixements sobre la divisió o la divisibilitat.

Algunes actituds a fomentar

La resolució de problemes, les investigacions matemàtiques, no estan exemptes dels aspectes actitudinals. Podem destacar algunes actitud que cal fomentar.

• Fer coses, provar , no quedar-se aturat.
• No tenir por a l’error. Entendre que ens pot ajudar a millorar.
• Ser constants. Procurar no rendir-se aviat.
• Aprendre a jugar entre l’autoconfiança (en la pròpia intuïció, en les pròpies possibilitats, en les conjectures que anem fent...) i l’autodesconfiança (comprovar les conjectures, mirar que no ens deixem casos, que som rigorosos...)
• No deixar de revisar el problema. Observar si les conclusions tenen sentit. Si hi havia una pregunta inicial mirar si s’ha respòs. Veure si es pot resoldre d’una manera diferent, més curta, més clara, més “fàcil”.
• Fer-se preguntes. Mentre s’investiga (les preguntes porten a les conjectures, a noves exploracions) i quan s’acaba, per exemple formulant variants dels problema, o pensant problemes derivats (les preguntes porten a noves preguntes). En conseqüència... aprendre a mirar interrogativament, críticament.
• Intentar explicar el que es fa, el que es pensa, les conclusions a les que es van arribant... ajudarà a veure si es tenen les idees prou clares, la seva fortalesa, a la vegada que es referma la seva comprensió. Però també s¡ha d’aprendre a escoltar i acceptar les explicacions dels altres, els seus arguments.

Com podem intervenir

Com a mestres, professors o professores és recomanable controlar el nostre grau d’intervenció. Aquestes poden ser algunes idees:

• No tenir una pressa excessiva. Aprendre a donar temps. En ocasions aprendre a callar, a no intervenir,
• Deixar marge a l’error. Tractar de fer que el descobreixin (posant un contraexemple, fent que comprovin si la conjectura els funciona en tots els casos que tenen...) més que indicar-lo directament.
• Ajudar a desencallar. Si donem pistes millor que siguin en forma de pregunta. També podem proposar alguna eina nova, si cal. O ajudar a recordar les que coneixen.
• És important proposar les investigacions en grup. Afavoreix la descoberta, la contrastació de les conjectures, la construcció de les argumentacions.
• Podem adaptar les investigacions a l’edat, simplificant el problema, estirant-lo, ajustant el grau d’explicació i expressió matemàtica que demanarem.