Encara que les “veritats” matemàtiques són imperibles el cert és que aquestes també “neixen i evolucionen”: tenen vida i història. Treballar aspectes històrics de la matemàtica ens ajuda a humanitzar-les: perquè hi ha persones que les han treballat i perquè provenen de problemes humans. A més tractar la història a l’aula ens ajuda a conèixer i respectar la diversitat i el treball dels altres.

La proposta d’aquesta quinzena vol suggerir algunes idees per incorporar aspectes a investigar a partir de la història de les matemàtiques.

Els exemples per a primària i secundària els presentem barrejats. Per a primària recomanem els exemples referits a numeració i càlcul.

Història de les numeracions escrites

Treballar numeracions antigues ens permet conèixer l’evolució dels sistemes de numeració i aprofundir en la comprensió de les característiques del nostre sistema posicional en base 10. Veurem la varietat de sistemes existents: additius, híbrids, posicionals... també podrem treballar amb bases diferents: 10, 20 o 60. Una possibilitat és descobrir com funciona el sistema de numeració deduint-lo a partir d’exemples: es fan conèixer alguns números i s’ha d’endevinar un d’específic.

A continuació teniu tres arxius per descarregar amb tres numeracions diferents:

• Asteca (additiva - base 20)
• Tamil (híbrida – base 10
• Assíria (posicional – base 60)

Podeu veure molta més informació al web Càlculus amb activitats interactives. També trobareu un model interactiu i per descarregar al web del Calaix +ie.

Algoritmes històrics

Els algoritmes de càlcul també han estat subjecte d’evolució. Es pot mirar un exemple d’algoritme i tractar de deduir com funciona. Un pas més pot ser intentar explicar per què funciona.

En el canal de vídeo de David Poma Huanca hi ha explicats diversos mètodes de multiplicar antics (hindú, fulmínia, egípcia, russa, etc.)

Al blog del Calaix +ie hi ha tota una sèrie d’articles dedicats als algoritmes històrics de la divisió, de l’arrel quadrada o sobre la multiplicació veda, sempre amb propostes per a l’aula.

Problemes antics de llibre de text

El llibre Expediciones matemáticas de Frank J. Swetz recull problemes matemàtics de “llibres de text” de totes les èpoques. Entre altres comentaris sobre l’ús didàctic d’aquests problemes, ens convida a tractar-los com a documents històrics que ens donen informació sobre l’organització social de l’època, els problemes pràctics als que s’havien d’enfrontar, etc. Una altra proposta és resseguir el fil històric d’alguns problemes tipus, per exemple els de “canya trencada” relacionats amb el teorema de Pitàgores.

“Un brot de bambú de 10 txi d’altura està trencat prop del seu extrem superior. El brot i la part trencada formen un triangle. L’extrem superior toca el terra a una distància de 3 txi de la tija. Quina és la longitud de tija que queda dempeus?” (Problema dels Nous capítols de les arts matemàtiques).

També convida a indagar en els mètodes de resolució de problemes de cada època. Mirem dos exemples que ens poden donar joc per practicar els mètodes o, més interessant encara, a justificar-los.

• Com resolien equacions de primer grau a l’Egipte?

• L’equació de segon grau al tractat d'àlgebra Hisab al-jabr w'al-muqabala d’al-Khwarazmí.

Es pot estudiar el mètode de resolució, practicar-lo i estendre’l a les equacions generals de segon grau.

Els problemes, els teoremes i els seus personatges

Si estudiem el número Pi hauria de ser inevitable parlar d’Arquímedes. També ho hauríem de fer quan parlem dels poliedres semiregulars, així com de Plató quan parlem dels regulars o d’Euler si comptem cares, vèrtexs i arestes. Si estudiem el teorema de Pitàgores hauríem de poder parlar de Pitàgores, de Liu Hui o de les cordes agrimensores egípcies o hindús. També podem resseguir els mètodes de resolució que van fer servir per resoldre els diferents problemes.

• El número Pi

Amb aquesta construcció podem seguir el procediment d’Arquímedes per a calcular el valor de Pi basat en la inscripció i circumscripció de polígons regulars en una circumferència.

També podem indagar en la història del càlcul dels diferents valors de Pi al llarg de la història.

• El teorema de Pitàgores

Podem construir i utilitzar cordes de nusos com les egípcies, de 12 (3-4-5) o la hindú de 20 (5-12-30).

Una altra opció és investigar sobre les fórmules d’obtenció de ternes pitagòriques.

També es poden estudiar algunes demostracions històriques del teorema. De les 99 que expliquen a la pàgina Cut-the-knot algunes són ben antigues. Podeu provar, per exemple, fer la demostració a partir de l’esquema de sota. És una demostració de James Garfield, vintè president dels Estat Units.