теорема на Пап за лицата

В теорема на Пап за лицата се разглежда разностранен триъгълник, в който допълнително към всяка страна външно е построен успоредник. Основното твърдение е: сумата от лицата на успоредниците към двете страни е равно на лицето на успоредника към 3-тата страна.

Sabmn = Sbdec + Sajic

За успоредниците равни отсечки са:

CG = KL = AJ = AM = BF = BN

AC = HI = JG;

BC = DE = FG;

AB = MN;

т.G е пресечна точка за продълженията на отсечките DExHI;

Последователно се разглеждат лицата на 3 успоредника:

Sahic, Sajgc, Saklm, както и Sbdec, Sbfgc, Sbkln, равенството, в отделните групи, следва от равенство между страна на съответния успоредник и височина към нея.

Представеният алгоритъм на построителната задача теорема на Пап за лицата, разглеждащ случай за успоредници външни за триъгълника, съдържа следните точки:

посочват се три не колинерани точки A,B, C исе построява референтния триъгълник;

посочва се т.D външна за триъгълника към страната BC и се построява успоредник BDEC - BD||EC, BC|| DE;

посочва се т.H външна за триъгълника към страната AC и се построява успоредник AHIC - AH||IC, AC|| HI;

изчисляват се координати за пресечната точка G = HIxDE;

изчислява се дължина на отсечката CG - по алгоритъм разстояние между две точки;

изчисляват се координати за пресечната точка K = CGxAB;

последователно се построяват равните отсечки:

KL = AM = AJ = BF = BN = CG;

последователно се изчисляват лицата на успоредниците: Sahic, Sajgc, Saklm, както и Sbdec, Sbfgc, Sbkln - чрез алгоритъм ориентирано лице;

равенството Sabmn = Sbdec + Sajic е доказателство за основното твърдение в теорема на Пап за лицата.

Равенството не се променя, ако за точка M вътрешна за триъгълника се построят съответните успоредници.

Частни случаи в теорема на Пап за лицата:

координатите на точките D и Н са подбрани така, че конструираните успоредници са квадрати - в този случай 3-тия успоредник е също квадрат;

при правоъгълен триъгълник ABC конструираните успоредници са правоъгълници.

Това дава основание за твърдението, че теорема на Пап за лицата се явява обобщен вариант за теорема на Питагор.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение реализира междупредметни връзки. Прочетете допълнителна информация за: лице на успоредник, теорема на Питагор, правоъгълник.