перпендикулярни прави на Нютон

В задачата перпендикулярни прави на Нютон се разглежда бицентричен четириъгълник (bicentric quadrilateral) ABCD  с начален ортодиагонален четириъгълник EFGH. В двата четириъгълника са построени прави на Нютон. Извежда се нагледно доказателство за сключения прав ъгъл между двете прави.

В изпъкнал четириъгълник, имащ най-много две успоредни страни, правата на Нютон (Newton line) минава  през пресечната точка на отсечките, свързващи средите на срещулежащите страни (бимедиани) и средите на двата диагонала. Ако четириъгълникът е и описан, то центъра на вписаната окръжността е инцидентен с права на Нютон.

Алгоритъмът на построителната задача перпендикулярни прави на Нютон ползва изцяло алгоритъм с начален ортодиагонален четириъгълник е представен във вписан и описан четириъгълник. Стъпките на алгоритъма са:

подалгоритъм с начален ортодиагонален четириъгълник представен във вписан и описан четириъгълник;

построяване на ортодиагонален четириъгълник EFGH - на основа височина в триъгълника EGH;

построяване на описана окръжност (за EFGH) с център т.Q;

построяване на перпендикулярните диагонали EG ⊥  HF;

построяване на отсечката 34 свързваща средите на диагоналите;

не са показани двойката бимедиани;

построяване на бицентричен четириъгълник ABCD;

построяване на описана окръжност (за ABCD) с център т.O;

построяване на диагонали AC, BD;

построяване на отсечката 12 свързваща средите на диагоналите;

Изчислява се сключения ъгъл между правите инцидентни с отсечки 12 и 34. Получаването на стойност от 90⁰ е и доказателство на основното твърдение в задачата перпендикулярни прави на Нютон.

Докажете или отхвърлете твърденията:

диагоналите AB и CD са перпендикулярни;

диагоналите AB, CD, EG, FH имат обща пресечна точка.

пропорцията между дължини на отсечки от страните на бицентричния четириъгълник: AE/BE = CG/DG;

като използвате частен случай от теорема на Вариньон докажете, че средите на страните за четириъгълника EFGH са върхове на правоъгълник.

Чрез алгоритъм за ориентирано лице изчислете лицето Sabcd и сравнете резултата с формулата ползваща дължина на диагонали:  

Sabcd = EG*HF*AC*BD/(EG² + HF²)

r - радиус на вписаната окръжност може да се определи чрез дължината на страните (a=AB, b=BC, c=CD, d=AD):

r = √ (abcd)/(a+c)

R - радиусът на описаната окръжност може да се изчисли чрез формулата на Parameshvara Nambudiri

R =  {[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad*bc)]/[(-a+b+c+d)*(a-b+c+d)*(a+b-c+d)*(a+b+c-d)]}, където a,b,c,d са дължини на страни.

Теоремата на Fuss (Fuss theorem) разглежда едновременно вписан и описан четириъгълник и извежда формула за междуцентровото разстояние OQ между двете окръжности.

 1 / (R - r)² + 1 / (R + OQ)² = 1 / r², така

OQ = √ (R²  + r² - r*√ (4R² + r²))

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: вписан и описан четириъгълник, теорема на Fuss, теорема на Нютон, диагонали и перпендикуляри, перпендикуляр и обща хорда.