тъпоъгълен равнобедрен триъгълник

Задачата тъпоъгълен равнобедрен триъгълник е част от множеството задачи с фиксиран ъгъл. За триъгълник ABC са дадени AC = BC, AB > BC, ∢ACB = 108⁰. Точката E принадлежи на AB, а точката F  принадлежи на AC, както и BC = BE, AF = AE.  Трябва да се докаже: подобие на двойките триъгълници: AEF  ≈ BEC; ABC  ≈ ECF,  перпендикулярност на отсечките BF⊥CE и равенството DE = CD.

Търсеното твърдение е равностойно с:  четириъгълникът EBCF е делтоид, а неговите диагонали BF, CE (т.D = BF x CE) са взаимно перпендикулярни.

В задачата се ползват свойства на Isoscelizer - права отсичаща от раменете на ъгъл равни по дължина отсечки считано от върха на ъгъла.

За ▲ABC (по условие AC = BC) се изчисляват ъглите:

от свойство на равнобедрен триъгълник ABC: ∢BAC = ∢ABC = (180⁰ = 108⁰)/2 = 36⁰.

За ▲AEF (по условие) AE = AF се изчисляват ъглите:

от свойство на равнобедрен триъгълник AEF: ∢AEF = ∢AFE = (180⁰ - ∢BAC)/2 = (180⁰ - 36⁰)/2 = 72⁰.

За ▲BEC (по условие) BE = BC се изчисляват ъглите:

от свойство на равнобедрен триъгълник BEC: ∢BEC = ∢BCE = (180⁰ - ∢ABC)/2 = (180⁰ - 36⁰)/2 = 72⁰  - свойство на равнобедрен триъгълник BEC.

▲AEF и ▲BEC  са двойка подобни равнобедрени триъгълници по III-ти признак.

За ▲EFC  се изчисляват ъглите:

∢EFC =  180⁰ -  ∢AFE = 180⁰ - 72⁰ = 108⁰;

∢ECF = ∢ACB - ∢BCE = 108⁰ - 72⁰ = 36⁰;

∢FEC = 180⁰ - ∢AEF - ∢BEC = 180⁰ - 72⁰ - 72⁰ =  36⁰

▲ABC и ▲EFC  са двойка подобни равнобедрени триъгълници по III-ти признак.

За четириъгълника EBCF съществуват две двойки равни съседни страни: по условие BE = CE, от изведеното доказателство EF = CF следователно EBCF е делтоид. В делтоид диагоналите са перпендикулярни - търсено доказателство в задачата тъпоъгълен равнобедрен триъгълник.

От свойство на диагоналите в делтоид DE = CD.

Интересна е и обратната задача: за тъпоъгълен равнобедрен триъгълник ABC са дадени AC = BC, AB > BC Точката E принадлежи на AB, а точката F  принадлежи на AC, както и BC = BE, AF = AE. Отсечките BF, CE са взаимно перпендикулярни, както и равенството CD = DE. Търсят се ъглите в триъгълника.

Доказва се, че равнобедрените триъгълници EBC, AEF  са подобни триъгълници и се изчисляват параметрично ъглите им.

Нека ∢BAC = ∢ABC = β. Тогава ∢AEF = ∢AFE = ∢BEC = ∢BCE = 0.5*(180⁰ - β).

От равенството ∢АЕF + ∢FEC + ∢BEC = 180⁰ се изчислява ∢FEC = 180⁰ - 0.5*(180⁰ - β) - 0.5*(180⁰ - β) = β

За триъгълника ABC: ∢BАC + ∢ABC + ∢BCE + ∢ACE  = 180⁰ се изчислява: β +  β  + 0.5*(180⁰ - β) + β = 180⁰ и се извежда β = 36⁰

Търсените ъгли са: ∢BAC = ∢ABC = 36⁰, ∢ACB = 108⁰.

Свойства на тъпоъгълен триъгълник - използвани са означенията в чертежа:

най-големият вътрешен ъгъл е по-голям от сумата на другите два: ∢ACB > ∢BAC + ∢ABC;

от теорема на Питагор:  AB² > BC² + AC²

ортоцентърът и центърът на описаната окръжност не принадлежат на триъгълника.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули  от областта изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: височини в тъпоъгълен триъгълник, триъгълник на Calabi, правоъгълник и окръжности, успоредник и коциклични точки, хорди и допирни точки.