теорема за Eutrigon

В задачата теорема за Eutrigon се разглеждат два равностранни триъгълника с общ връх и дължина на страната съответно a,b. Две от страните на триъгълниците са инцидентни с една и съща права. Срещулежащите върхове на отсечката (инцидентна с правата) и общия връх образуват триъгълник (Eutrigon) с остър ъгъл 60⁰, срещулежащата страна (хипотенуза) имаща дължина с и дължини на страните (рамена на ъгъла) съответно a и b. Извежда се доказателство за връзка между лица на построените триъгълници:

Se = Sa + Sb - Sc, където:

Se - лице на Eutrigon;

Sa - лице на равностранен триъгълник със страна а (цвят жълт);

Sb - лице на равностранен триъгълник със страна b (цвят зелен);

Sc - лице на равностранен триъгълник със страна c (цвят лилав);

Представеното нагледно доказателство ползва ромб имащ остър ъгъл 60⁰ - дължината на единия диагонал е равна на страна на ромба и го дели на два еднакви равностранни триъгълника със страни образувани от две отсечки (цвят жълт и зелен).

Страната на ромба е с дължина a+b. Диагоналът на ромба е разделен от общия връх на два равностранни триъгълника с дължина на страната съответно a, b. От чертежа в единия равностранен триъгълник са построени два вписани равностранни триъгълника и успоредник съставена от 2 фигури Eutrigon. Във втория триъгълник са построени равностранен триъгълник (лилав) с дължина на страната дължината на хипотенуза и 3 броя Eutrigon.

От лицата на вписаните фигури в двата еднакви равностранни триъгълника се извежда равенството:

Sc + 3*Se = Sa + Sb + Se + Se

Se = Sa + Sb - Sc - търсеното доказателство на основното твърдение в задачата теорема за Eutrigon.

Използваният алгоритъм използва колинеарни точки - страните на двата равностранни триъгълника са инцидентни с обща права, те са с общ връх и образуват с остър ъгъл от 60⁰, другите два върха са краища на третата страна на Eutrigon.

Алгоритъмът на построителната задача теорема за Eutrigon съдържа следните стъпки:

посочват се три точки образуващи диагонал на ромб;

разстоянието между първите две точки дава дължина на отсечката а и определя ъгъл на наклон за диагонала на ромба;

разстоянието между вторите две точки дава дължина на отсечката b;

построява се диагонал на ромба с дължина a + b;

последователно се изчисляват координати за върхове на два равностранни триъгълника с обща страна;

построява се референтния ромб;

последователно се построяват два равностранни триъгълника (жълт, зелен) имащи общ връх и страна инцидентна с диагонала на ромба

построява се хипотенузата (цвят лилав) свързваща върхове на последно построената двойка еднакви триъгълници - формира се успоредник съставен от два еднакви триъгълника с остър ъгъл 60⁰;

по страните от втората част на ромба последователно се нанасят отсечки (цвят жълт, зелен) с равна дължина на страна на вписаните равностранни триъгълници в първата половина на ромба;

построява се равностранен триъгълник (цвят лилав) с дължина на страна хипотенуза - така се формират три нови фигури Eutrigon.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема за счупената хорда, теорема на Clifford, питагорова теорема, теорема на Weill.