симетрали и сума на ъгли

В задачата симетрали и сума на ъгли се разглежда остроъгълен триъгълник ABC, построени са симетрали към страните AC, BC. Извежда се нагледно доказателство, че връх на триъгълника т.С, пресечните точки I, J между симетрала-страна на триъгълника (рамо на ъгъла) и т.О пресечната точка на симетралите са коциклични точки, както и сумата на ъгли между двойката симетрали и срещулежащия ъгъл ∢ACB е 180⁰.

Доказателството се основава на:

сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал 4-ъгълник е 360⁰;

 НДУ даден изпъкнал четириъгълник да бъде вписан четириъгълник: ако и само ако всеки негов външен ъгъл е равен на срещулежащия му вътрешен ъгъл, или равностойното: сумата на срещулежащите вътрешни ъгли да е 180⁰;

симетрала към страна е перпендикулярна към страната и я разполовява - ∢OIC = ∢OJC = 90⁰;

от теорема на Талес за правоъгълен триъгълник центърът на описаната окръжност е в средата на хипотенузата;

Алгоритъмът на построителната задача симетрали и сума на ъгли съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на остроъгълен триъгълник;

последователно се изчисляват координати на точки I, J среди на съответните страни;

последователно се построяват симетралите m, n към съответните страни;

изчисляват се координати на т.О - пресечна точка на симетралите и център на описаната окръжност;

построява се отсечка OC - радиус на описаната окръжност;

построява се описана окръжност с център т.О и радиус изчислената дължина на отсечка OC;

изчисляват се координати на т.Q - среда на отсечката OC;

построява се окръжност с център т.Q и диаметър OC;

от построените симетрали следва, че двата триъгълника OJC, OIC са правоъгълни с обща хипотенуза OC и следователно точки I, J са инцидентни с построената окръжност - доказателство за основното твърдение в задачата симетрали и сума на ъгли.

Следователно сумата на ъгли ∢IOJ + ∢ICJ = 180⁰.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули  от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: височини и ъгли, перпендикуляр и ъглополовяща, ъглополовящи и сума на ъгли, симетрала, точка на Чева и симетрали, среда на отсечки.