трисектриси и окръжности

В задачата трисектриси и окръжности се разглежда триъгълник ABC, в който ∢ACB е разделен на три части: ∢DCE, ∢ACD = ∢BCE. Построени са описани окръжности около триъгълниците ADC, AEC, BDC, BEC. Извежда се нагледно доказателство, че центъра на всяка от построените окръжности е инцидентен с една и съща окръжност - на чертежа окръжността с център т.Q.

За трисектриса (trisector) са известни две определения: отсечка (една от двете възможни) през връх на ъгъл, преминаваща между рамената на ъгъла и деляща го на три равни части; равнинна крива, особен вид охлюв на Паскал. В триъгълник от равнината най-близка по свойства до трисектриса е бисектриса, ъглополовяща. 

В задачата геометрична прогресия и радиус се разглежда триъгълник, построени трисектриси, триъгълник на Morley, описана окръжност, два равностранни триъгълника вписани в същата описана окръжност, съответни два равностранни допирателни триъгълника и тяхната описана окръжност. Извежда се нагледно доказателство за стойност на отношение между радиусите на окръжности описани около построените и всеки от следващи допирателни триъгълници. Числовият ред може да се представи като геометрична прогресия с начален елемент радиуса на описаната окръжност около първата двойка равностранни триъгълници и частно равно на отношение  между радиуса на описаната окръжност около две последователни двойки допирателни триъгълници. В случая частното на прогресията е 2.

Алгоритъмът на построителната задача ползва подалгоритъм за построяване на трисектриси и съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за построяване на референтния триъгълник;

постояват се трисектриси CD, CE - по алгоритъм описан в трисектриса, теорема на Морли;

в цикъл последователно се построява:

окръжност инцидентна с точки A, D, C;

окръжност инцидентна с точки A, E, C;

окръжност инцидентна с точки B, D, C;

окръжност инцидентна с точки B, E, C;

окръжност инцидентна с центъра на произволно избрани три от построените окръжности;

в цикъл последователно се изчислява разстоянието от т.Q до центъра на останалите три окръжности. Получаването на дължини конгруентни с дължината на сравнявания радиус е и търсеното доказателство за основното твърдение в задачата трисектриси и окръжности.

По-общата задача изисква само равенство на ъглите: ∢ACD = ∢BCE.  

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за описание на подобни алгоритми в: трисектриса, теорема на Морли, геометрична прогресия и радиус, тризъбец и допирни точки, трапец и колинеарни точки.