равни дъги и отсечки

Задачата равни дъги и отсечки илюстрира твърдението: триъгълникът, с върхове среда на отсечка (хорда в две окръжности) и среди на две дъги, е правоъгълен с хипотенуза свързваща средите на дъгите.

Нагледното доказателство се основава на познати задачи/теореми доказателства:

ако в окръжност за двойка дъги съответстват равни централни ъгли, то съответната двойка хорди са равни отсечки (по дължина) - теорема за пресичащи се хорди;

ако около правоъгълен триъгълник се построи окръжност, то нейният център разполовява хипотенузата на две равни отсечки - теорема на Талес за описана окръжност.

в теорема на Архимед за среда на дъга в окръжност се извежда равенство за дължини на хорди в референтната окръжност.

Алгоритъмът на построителната задача равни дъги и отсечки съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C и се построява първия триъгълник;

построява се неговата описана окръжност - център т.I;

посочват се координати за т.D и се преизчисляват, така че т.D да принадлежи на продължението на отсечка AB;

построява се триъгълник с върхове B, C, D;

построява се неговата описана окръжност - център т.J;

за изчисляване координати на точка деляща дъга на две равни дъги се ползва основния извод от теорема за пресичащи се хорди - диаметър перпендикулярен на хорда от същата окръжност я разделя на равни отсечки;

за двете отсечки AC, DC последователно се намира координати на точка (средата) разделяща ги на равни отсечки;

построява се радиус IN разполовяващ страната AC и разделящ съответната дъга на две равни дъги;

построява се радиус JM разполовяващ страната ДC и разделящ съответната дъга на две равни дъги;

изчисляват се координати за т.O - среда на отсечката MN;

построява се окръжност с център т.О и диаметър MN - описана окръжност около триъгълник KMN;

описаната окръжност е и търсеното доказателство в задачата равни дъги и отсечки - отсечките свързващи средите на дъгите със средата на отсечката са взаимно перпендикулярни.

Ако триъгълникът ABC е остроъгълен, то триъгълникът BDC е тъпоъгълен, обратното твърдение също е вярно.

Частни случай са: ако триъгълникът ABC е правоъгълен триъгълник, ако триъгълникът ADC е равнобедрен.

Разгледайте други примерни проекти реализиращи междупредметни връзки, за които е ползвана подобна логическа структура на графичните обекти и/или приложени сходни алгоритми. Прочетете допълнителен материал за: равни отсечки, теорема на Талес, описана окръжност около триъгълник, конкурентни хорди.