вписана окръжност и перпендикуляр

В задачата вписана окръжност и перпендикуляр се разглежда триъгълник, вписана окръжност и построени прави: а) инцидентна с две допирни точки, б) инцидентна с връх на референтния триъгълник и центъра на вписаната окръжност, в) права инцидентна с връх на триъгълника и перпендикулярна  към предходната права. Извежда се нагледно доказателство за конкурентност на трите прави.

Алгоритъмът на построителната задача вписана окръжност и перпендикуляр съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на референтния триъгълник;

изчисляват се координати за пети на вътрешните ъглополовящи и координати за т.О тяхната пресечна точка - център на вписаната окръжност;

изчислява се дължина на радиус и се построява вписаната окръжност;

построява се права t инцидентна с точки А, О;

от връх В на триъгълника се построява перпендикуляр ВТ към права t;

последователно се изчисляват координати на пресечна точка между всяка двойка от построените прави. Чрез алгоритъм за ориентирано лице се доказва че трите прави са конкурентни - доказателство на основното твърдение в задачата вписана окръжност и перпендикуляр.

Позицията на т.Т спрямо референтния триъгълник е зависима от вида на ∢АСВ.

Примерен текст за изчислителна задача свързана с триъгълник, вписана окръжност и допирни точки.

В равнобедрен триъгълник ABC (AC = BC) с дължина на основата m е вписана окръжност с център т.О и допирни точки I, J към бедрата т.H към основата. При дадени отношения AJ/CJ = BI/CI = 3/2. Да се изчисли P периметър на триъгълника и r - радиус на вписаната окръжност.

Вписана окръжност в триъгълника има за център пресечната точка на ъглополовящите. Страните на триъгълника се явяват допирателни за вписаната окръжност: OJ ⊥ AC; OI ⊥ BC; OH ⊥ AB.

По условие триъгълникът ABC е равнобедрен и CH се явява ъглополовяща, височина (CH ⊥ AB) към основата и нейна медиана AH = BH.

Така двата правоъгълни триъгълника са еднакви: ΔBHO ≅ ΔBIO, следователно OH = OJ, BH = BJ

BC = BJ + CJ = 3x + 2x

BJ = BH = AB/2 = m/2

3x = m/2

x = m/6

Pabc = AB + 2*BC =  m + 2*(2*m/6 + 3*m/6) = (6m + 4m + 6m)/6 = 16m/6

Пример: AB = 24

Pabc = 16*24/6 = 64

Чрез теорема на Питагор се изчислява CH - височината към основата, изчислява се лицето на триъгълника S = AB*CH/2.

За изчисляване радиус на вписана окръжност в триъгълник се ползва формулата: r = S/p, където  р е полупериметър.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: вписана окръжност в триъгълник, перпендикуляр и допирни точки, вписан 6-ъгълник, вписан успоредник.