точка на Чева и симетрали

В задачата точка на Чева и симетрали се разглежда остроъгълен триъгълник ABC, въведени координати за т.Т - точка на Чева. Построени са отражения на точката относно страните TD, TE, TF - перпендикуляри към страните с обща начална точка. Построена е описана окръжност около ▲DEF. Извежда се нагледно доказателство, че перпендикулярите BL⊥DF, CM⊥DE, AN⊥EF са конкурентни с обща пресечна точка т.Р, център на описаната окръжност, а отсечките AP, BP, CP са симетрали на съответните страни на вписания ▲DEF.

В хода на конструирането се ползват алгоритми представени в теорема на Симсън, в педален триъгълник.

Алгоритъмът на построителната задача точка на Чева и симетрали съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на референтния триъгълник;

посочват се координати за т.Т (точка на Чева);

последователно се построяват отраженията (т.E, т.D, т.F) на т.Т спрямо страните (AC, BC, AB) на триъгълника ABC - така всяка страните на референтния триъгълник е симетрала за съответната отсечка TD, TE, TF;

в цикъл се изчисляват координати на пресечната точка между съответната страна на триъгълника и перпендикуляр, с начало точката на Чева, към същата страна - алгоритъм перпендикуляр от точка към права;

изчислява се дължина на отсечка с координати за начало точка на Чева и край изчислените координати за пресечната точка на перпендикуляра - алгоритъма е разгледан в педален триъгълник;

за изчисляване координати за  точката на отражение се използват полярни координати: радиус вектор изчислената удвоена дължина на отсечката точка на Чева - пресечна точка на перпендикуляра и ъгъл - ъгъла на тази отсечка;

в цикъл, чрез отсечки, се свързват точките на отражение в допълнителен триъгълник DEF;

в цикъл последователно от връх на референтния триъгълник ABC се построява перпендикуляр към  съответната страна на триъгълник DEF  - по алгоритъм перпендикуляр от точка към права;

изчислява се ориентирано лице на триъгълник с върхове пресечните точки на всяка двойка от построените перпендикуляри - получаването на абсолютна стойност, сравнима със стойността на грешката от изчисление е и търсеното доказателство за конкурентост на перпендикулярите;

изчисляват се координати за център т.Р и дължина на радиус за описана окръжност около триъгълник DEF - алгоритъм окръжност по 3 точки;

изчислява се разстоянието между общата пресечна точка на перпендикулярите и изчислените координати за център  - получаването на абсолютна стойност, сравнима със стойността на грешката от изчисление е и търсеното доказателство, за обща пресечна точка на перпендикулярите в центъра на описаната окръжност, в задачата.

В математиката симетрала на дадена отсечка е права, перпендикулярна на отсечката и минаваща през нейната среда.

От приложения алгоритъм радиусите на описаната окръжност инцидентни с точките (P,L), (P,M), (P,N) са перпендикулярни на вписания триъгълник DEF и следователно отсечките AP, BP, CP са инцидентни със симетралите към страните на вписания триъгълник - доказателство за последното твърдение в задачата точка на Чева и симетрали.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия.  Потърсете допълнителен материал за: симетрали и сума на ъгли, среда на отсечки.