теорема за счупената хорда

В задачата теорема за счупената хорда се разглежда триъгълник ABC, описана окръжност, диаметри (симетрали) DE, FG и от тяхна крайна точка перпендикуляри (DK, IN) към страната AC. Извежда се нагледно доказателство, че т.К разполовява сумарната дължина на хордите AC+BC. Задачата има многовековна история и е свързана с различни имена и доказателства, в определени източници се споменава името на Архимед.

В хода на построяването се получават:

диаметър и симетрала DE ⊥ AB,

 (IN || FM || DK) всички те ⊥ AC и следователно DI || AC;

от симетралата GF: AM = CM,  NM = KM и следователно AN = CK;

∢ BAC = ∢ DEI като вписани ъгли с взаимно перпендикулярни рамена - отсичат равни дъги и съответните им хорди и следователно DI = BC = KN;

Алгоритъмът на построителната задача теорема за счупената хорда съдържа следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки за върхове на референтния триъгълник ABC, такива че AB > AC > BC;

последователно се построяват симетрали към страните   FG ⊥  AC;  DE ⊥  AB

изчисляват се координати на тяхната пресечна точка т.О = FG x DE - център на описаната окръжност;

изчислява се дължина на радиус и се построява описана окръжност;

от двата края на диаметъра DE се построяват перпендикуляри DK ⊥  AC;  EI ⊥  AC;

извършва се проверка на равенствата DI = BC = KN чрез алгоритъм разстояние между две точки;

от свойство на симетралата FG ⊥  AC се получават равенствата AM = BM, MN = KM, AN = CK.

Така: AN + KN = CK + BC,   AK = KC +BC, което е и доказателство на основното твърдение в задачата теорема за счупената хорда.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема за Eutrigon, теорема на Clifford, питагорова теорема.