допирни и пресечни точки

В задачата допирни и пресечни точки се разглежда триъгълник ABC с построени три окръжности на Malfatti. Извежда се нагледно доказателство за съществуване на три окръжности инцидентни едновременно с 4 допирни точки между построените окръжности. Три допълнителни окръжности имат пресечна точка инцидентна със съответната ъглополовяща и представяща връх на тризъбец. Всяка от допълнителните окръжности отсича от съответната ъглополовяща отсечка с дължина връх на триъгълника - допирна точка на страна и окръжност на Malfatti.

В хода на построението се ползват алгоритми като: пресечна точка на две окръжности - разгледан в пресичащи се окръжности, допирна точка - разгледан във външна допирателна, пресечна точка между права и окръжност - разгледан в секуща.

Илюстрира се фигурата криволинеен триъгълник.

Алгоритъмът на построителната задача допирни и пресечни точки съдържа следните стъпки:

посочват се координати за три не колинеарни точки за върхове на референтния триъгълник ABC;

последователно се построява поредната вътрешна ъглополовяща;

последователно се построява поредната окръжност на Malfatti;

последователно за всяка окръжност се изчисляват координати на допирни точки със съответната страна на триъгълника (4,5), (1,6), (2,3) - по алгоритъм представен в степен на точка;

последователно за всяка двойка окръжности на Malfatti се изчисляват координати на допирните точки 7, 8, 9 - по алгоритъм представен в допиращи се окръжности;

последователно за три отделни групи допирни точки се построяват инцидентни с тях окръжности - такива са (5,6,7,8), (1,2,8,9), (3,4,9,7);

последователно, за всяка двойка от построените окръжности се изчисляват координати на техните пресечни точки (I, J, K) - по алгоритъм представен в пресичащи се окръжности;

последователно се извършва проверка за инцидентност на поредната пресечна точка със съответната ъглополовяща - по алгоритъм ориентирано лице.

последователно се изчисляват и сравняват дължини на групите отсечки (A5, AK, A4), (B6, BI, B1), (C3, CJ, C2). Полученият резултат е и доказателство за последното твърдение в задачата допирни и пресечни точки.

Групите допирни и пресечни точки образуват се 4 криволинейни триъгълника (K, 5, 6, I), (I, 1, 2, J), (J, 3, 4, K), (7, 8, 9). Построяване на равностранен криволинеен триъгълник е разгледано в задачата триъгълник Reuleaux.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва формули и теореми от  изчислителна геометрия.  Потърсете допълнителен материал за: допирателни и секуща, допирни и колинеарни точки.