еднакви триъгълници и окръжност

В задачата еднакви триъгълници и окръжност се разглежда триъгълник ABC.  Външно за триъгълника са построени два квадрата BDEC, AFGC с дължини на страната равна съответната страна на триъгълника. Извежда се нагледно доказателство: двойката тъпоъгълни триъгълници с общ връх (AEC, BGC) са два еднакви триъгълника. Пресечната точка I на страни от еднаквите триъгълници принадлежи на окръжност с диаметър страната AB на референтния триъгълник.

В хода на доказателството се използва факта, че тъпия ъгъл в двата допълнителни триъгълника може да бъде представен като сума 90⁰ + ∢ACB.

Алгоритъмът на построителната задача ползва алгоритъма разгледан в теорема на ван Обел за четириъгълник и съдържа следните стъпки

посочват се три не колинеарни точки за върхове на референтния триъгълник ABC;

последователно се построяват квадрати BDEC, AFGC външно за съответната страна на референтния триъгълник;

последователно се построяват отсечки AR, BG;

разглеждат се двойката тъпоъгълни триъгълници AEC, BGC за които:

∢ACE = ∢90⁰ + ∢ACB = ∢BCG;

CE = BC - като страни на квадрат и страни в разглежданата двойка триъгълници;

CG = AC - като страни в квадрат

следователно ▲AEC ≅ ▲BGC  по две равни страни и заключения между тях ъгъл;

изчисляват се координати на пресечната точка I на страни от еднаквите триъгълници на т.I = AE x BG;

изчисляват се координати за среда на страната AB,

построява се окръжност с център изчислените координати и диаметър AB;

с резултата от приложения алгоритъм разстояние между две точки се доказва инцидентност на т.I с построената окръжност - доказателство на последното твърдение в задачата еднакви триъгълници и окръжност. Четириъгълникът ABEG е ортодиагонален с пресечна точка на диагоналите т.I.

Подобен резултат с еднакви триъгълници и образуван правоъгълен триъгълник има в първото доказателство на Евклид - стола на булка.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: квадрати с общ връх, теорема на Bottema,окръжности и допирни точки, епицентър и равни лица.