общ връх

В задачата общ връх се разглеждат два различни квадрата с общ връх и се извежда нагледно доказателство за съществуване на две точки M, N, всяка от които отстои на конгруентни разстояния до съответните върхове на квадратите. За чертежа такива двойки отсечки са:

1) MA2 и MB2; 2) MA3 и MB3; 3) MA4 и MB4; 4) NA2 и NB4; 5) NA3 и NB3; 6) NA4 = NB2.

В хода на построението се ползва подход приложен в теорема на ван Обел (за четириъгълници).

Алгоритъмът на построителната задача общ връх съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки за върхове на тъпоъгълен триъгълник - за чертежа B3, A3, A1;

последователно към по - късите страни на триъгълника се построяват квадрати с диагонал равен на съответната страна - подобен алгоритъм е приложен в теорема на ван Обел за четириъгълници;

изчисляват се координати за център на тежестта (и център на симетрия) за двата квадрата точки O, Q;

последователно се построяват 2 окръжности с вече изчисления център и дължина на диаметър дължина на срещулежащата страна, диагонал на другия квадрат;

изчисляват се координати за пресечните точки на двете окръжности (точки M, N) - по алгоритъм представен в пресичащи се окръжности;

в цикъл се изчисляват и сравняват разстоянията пресечна точка на окръжност - съответните върхове на двата квадрата.

Получаването на конгруентни стойности е и доказателство за основното твърдение в задачата общ връх.

Направете аналогична проверка с генерализирата задача: ако в равнината два правилни многоъгълника от един и същи тип имат общ връх, то в същата равнина съществуват 2 точки имащи еднакво разстояние до съответните върхове на многоъгълниците.

Докажете или опровергайте твърдението: в разглежданата задача отсечките OQ и MN са диагонали в делтоида OMQN.

В задачата подобни квадрати се илюстрира твърдението: ако за триъгълник се построят два квадрата всеки с дължина на страната дължината на съответния страна, то точките: центъра (на симетрия) на двата квадрата - т.O, т.Q; средата на третата страна на  триъгълника - т.М; средата на отсечката, свързваща върхове на квадратите - т.N; са върхове на квадрат.

Теоремата на ван Обел за четириъгълник (van Obel theorem) гласи: ако към всяка от страните на произволен несамопресичащ се четириъгълник са построени квадрати, то отсечките, свързващи центровете на срещулежащите квадрати, са равни по дължина и са взаимно перпендикулярни.

В задачата теорема на Bottema също се разглежда подобна конструкция: триъгълник с построени квадрати на две съседни страни.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: подобни квадрати, делтоиди с общ връх, успоредници с общ връх, квадрати с общ връх, арменска спирала, фиксиран ъгъл.