височини и ъгли

В задачата височини и ъгли се разглежда тъпоъгълен триъгълник ABC с остри ъгли α и β и се построява покриващ триъгълник имащ ъгъл γ = α + β.

Алгоритъмът на построителната задача височини и ъгли съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на тъпоъгълен триъгълник

от връх А се построява права перпендикулярна на BC и се изчислява пресечната точка с продължението на BC:  т.F = ADxBC;

от връх B се построява права перпендикулярна на AC и се изчислява пресечната точка с продължението на AC:т.E = BDxAC;

изчислява се пресечната точка D на правите, инцидентни съответно с точки (A,F), (B,E)

двата правоъгълника триъгълника ABE и BDG имат общ ъгъл ∢ABE = ∢GBD - триъгълниците са подобни, ъглите ∢BAE = ∢BDG = α;

двата правоъгълни триъгълника ABF и ADG имат общ ъгъл ∢BAF = ∢GAD - триъгълниците са подобни, ъглите ∢ABF = ∢ADG = β;

изчисляват се дължини на страни и стойност на вътрешните ъгли (чрез косинусова теорема) по алгоритми представени в намиране елементи на триъгълник;

извършва се проверка за равенството между срещулежащия ъгъл и сумата от двата остри ъгъла от началния триъгълник - основното твърдение в задачата височини и ъгли.

Обратната задача на височини и ъгли разглежда остроъгълен триъгълник ABD с построени височини AE ⊥ BD, BF ⊥ AD с пресечна точка т.C = AExBF. Търси се доказателство за равенството:

∢ACB = ∢ABD + ∢BAD

Съществуват няколко доказателства и едно от тях е с четириъгълника CEDF за който:

∢CFD = ∢CED =  90⁰ - от построените перпендикуляри

∢CFD + ∢CED = 180⁰

∢CFD + ∢CED = ∢ADB + ∢FCE = 180⁰

∢ACB = ∢FCE като връхни;

∢FCE = ∢ACB = 180⁰ - ∢BAC - ∢ABC = 180⁰ - (α + β);

от което следва и търсеното доказателство:

∢ADB = 180⁰ - ∢FCE = 180⁰ - 180⁰ + (α + β) = α + β;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули  от областта изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: височина и допирни точки, височини и ъглополовящи.