подобни триъгълници и хорди

В задачата подобни триъгълници и хорди се разглежда се разглежда вписан триъгълник ABC, медиана AD,  нейното продължение DE до описаната окръжност и равенство на ъглите ∢BAC = ∢ADC. По въведени стойности AD = m, DE = n да се изчисли R - радиус на описаната окръжност.

Даден триъгълник се счита за напълно определен по въведени данни за поне три елемента: дължина, отношение, ъгъл като поне един от елементите е линеен размер. В случая има въведени стойности за 2 линейни размера и неявно въведено отношение CD = BD - от свойство на медианата AD. Задачата е подходяща за преговорен материал и изисква познания за ред алгоритми и теореми отнасящи се до изчисляване елементи на триъгълника.

В ретроспективен план представеното решение използва:

1) формула за радиус на описана окръжност: R = BC*AC*BC/(4*Sabc);

2) теорема на Херон за лице на триъгълник: Sabc = √ (p*(p-BC)*(p-AC)*(p-AB)), където полупериметъра p = (AB+BC+AC)/2;

3) теорема на Талес за подобни триъгълници ∆ABC ≈ ∆ABD (∢BAC = ∢ADC, общ ъгъл ∢ACB) с отношения между съответните страни: BC/AC = AB/AD = AC/CD;

4) чрез извод от теорема за пресичащи се хорди се извеждат отношенията: AD/CD = BD/DE или AD*DE = BD*CD;

5) от свойство на медиана AD се извеждат равенствата: BD = CD, BC = 2*BD;

От (4) и (5):

AD*DE = (BC/2)*(BC/2);

страна BC = 2*√(AD*DE) =  2*√(m*n);

BD = CD = BC/2;

BC/AC =  AC/CD   (3);

AC² = BC²/2

страна AC = BC/√2 = √(4*m*n)/√2 =  √(2*m*n);

BC/AC = AB/AD  (3)

страна AB = BC*AD/AC;

полупериметър: p = (AB + BC + AC)/2

лице на триъгълник: Sabc = √ (p*(p-BC)*(p-AC)*(p-AB))  (2);

радиус на описана окръжност: R = BC*AC*BC/(4*Sabc)   (1);

Какво би се получило при акцентиране върху релацията радиус на описана окръжност, срещулежащ ъгъл и линеен размер остава отворен въпрос.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: подобни правоъгълни триъгълници, подобни триъгълници и вписан четириъгълник, подобни триъгълници и полувписана окръжност.