вписан успоредник

В построителната задача вписан успоредник се разглежда изпъкнал четириъгълник ABCD, с диагонали AC, BD, бимедиани EF, GK. Построени са четириъгълници с върхове среди на страни/диагонали. Извежда се нагледно доказателство, че всеки от построените четириъгълници е вписан успоредник, чиято пресечната точка на диагонали е конгруентна с пресечната точка на бимедианите от референтния четириъгълник.

Изведеното доказателство е основано на основния извод от теорема на Вариньон (Varignons theorem): средите на страните на произволен четириъгълник са върхове на успоредник.

Алгоритъмът на построителната задача вписан успоредник съдържа следните стъпки:

по посочени координати на 4 точки , за които нито една комбинация от три точки не са колинеарни точки се построява изпъкнал четириъгълник ABCD;

последователно се построяват диагонали AC, BD;

изчисляват се координати за среди на диагонали т.I (AI = CI), т.J (BJ = DJ);

последователно се построяват бимедиани GK (AK = BK, CG = DG),  EF (AF = DF,  BE = CE);

четириъгълникът с върхове пети на бимедиани EGFK е успоредник - от теорема на Вариньон;

построява се вписан успоредник KJGI с върхове пети на бимедиана GK и средите I, J на двата диагонала;

построява се вписан успоредник EJFI с върхове пети на бимедиана EF и средите т.I, т.J на двата диагонала;

последователно се изчислява пресечна точка на диагоналите в построените успоредници;

получените стойности за координати се се сравняват и се установява: пресечната точка на диагоналите в трите построени успоредника е конгруентна с пресечната точка на бимедианите от референтния четириъгълник - основно твърдение в задачата вписан успоредник.

В теорема на Вариньон се извежда твърдението: периметъра на успоредника на Вариньон, Pekfg = AC + BD е равен на сумата от дължината на диагоналите в референтния четириъгълник ABCD. Доказва се със средни отсечки в триъгълник.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Вариньон, вписан 6-ъгълник, вписана окръжност и перпендикуляр.