ъглополовящи и окръжности

В задачата ъглополовящи и окръжности се разглежда триъгълник, построени вътрешни ъглополовящи и вписана окръжност. Построени са допълнително три окръжности по 3 точки: връх на триъгълни и пета на 2 ъглополовящи към страните на същия връх. Извежда се нагледно доказателство, че построените окръжности са конкурентни с обща точка центъра на вписаната окръжност.

От свойство на вписана окръжност:

OD ⊥ BC, OE ⊥ AC, OF ⊥ AB - като перпендикулярен радиус към външна допирателна (страна на триъгълника) в точката на допиране;

OD = OE = OF = радиус на вписаната окръжност;

AF = AE,  BF = BD, CD = CE - основен извод в задачата степен на точка;

следователно всеки от четириъгълниците AFOE, BDOF, CFOE е правоъгълен делтоид.

Центърът на описаната окръжност около правоъгълен делтоид разполовява диагонала срещулежащ на правия ъгъл.

Втори възможен подход за доказателство е чрез теорема на теорема на Талес - центърът на описана окръжност около правоъгълен триъгълник разполовява хипотенузата. Правоъгълни триъгълници по двойки еднакви са: AOF - AOE; BOF-BOD; COD-COE.

Теоремата на Pivot (Pivot theorem) разглежда по-общата задача. Тя гласи: ако върху всяка от страните на триъгълника ABC се избере точка, лежаща между два върха и се построят три окръжности преминаващи през две от избраните точки и връх от триъгълника, то трите окръжности са инцидентни с една и съща точка.

Алгоритъмът на построителната задача ъглополовящи и окръжности съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки за върхове на референтния триъгълник ABC;

последователно се построява поредната вътрешна ъглополовяща;

изчисляват се координати на пресечната точка на ъглополовящите т.О - център на вписаната окръжност;

последователно от т.О се построява перпендикуляр към всяка от страните OD ⊥ BC, OE ⊥ AC, OF ⊥ AB - по алгоритъм перпендикуляр от точка към права;

построява се вписана окръжност с радиус дължината на един от построените перпендикуляри;

последователно се изчисляват координати за (т.K, т.I , т.J) център на окръжностите среда на съответните отсечки AO, BO, CO;

последователно се изчислява дължина  на съответната отсечка AO, BO, CO - диагонал в правоъгълен делтоид;

последователно се построяват окръжностите търсени в задачата ъглополовящи и окръжности.

Друг подход за построяване на същата задача ползва  алгоритъм разгледан в задачата пресичащи се окръжности. В нея се разглеждат две окръжности u(O, OA) и v(Q, QB). Построени са техните външни допирателни, инцидентни съответно с точки A-B и C-D. От средата на отсечката AB са построени отсечки DE, DC - секущи на двете окръжности. Извежда се нагледно доказателство, че точки I, J, C, D са коциклични точки.

В сходна задача се разглеждат пет окръжности с равни радиуси - с  радиуса на описаната окръжност около същия триъгълник:  описаната окръжност, три окръжности с център връх на референтния триъгълник.  Всяка от пресечните точки на трите окръжности е инцидентна с окръжност, чийто радиус е равен също на радиуса на описаната окръжност.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: ъглополовяща в триъгълник, ъглополовяща и трапец, делтоиди с общ връх.