хорди и дъги

В задачата хорди и дъги се извежда нагледно доказателство за отношения и свойства на равни ъгли, хорди и дъги:

диаметър разделя окръжност на две равни дъги от 180⁰ (равенство между дъгите FAG , FBG ), както и диаметър в окръжност има централен ъгъл от 180⁰;

два перпендикулярни диаметъра разделят окръжността на четири равни дъги с централен ъгъл от 90⁰ и обобщаващото твърдение диаметрите, инцидентни с центъра на вписана/описана окръжност около правилен 2n-ъгълник ги разделят на n равни дъги с централен ъгъл от 360/n градуса;

ако рамената на централен и вписан ъгъл отсичат една и съща дъга  от окръжността, то ъглите са в отношение 2:1 - ∢KQT = 2*∢KMT,  ∢AOB = 2*AFB;

две успоредни хорди (DE||KM като основи на равнобедрен трапец) в окръжност отсичат равни дъги от окръжността - равенство между дъгите EM = DK;

в окръжност вписани ъгли, чиито рамена отсичат една и дъга, са равни - ∢BAK = ∢BMK, ∢ABM = ∢AKM;

ако вписани ъгли (∢BAK = ∢BMK) отсичат от окръжността равни хорди, то тези ъгли са равни - твърдението е валидно и за съответните им централни ъгли;

диаметър перпендикулярен на хорда, от една и съща окръжност, се явява нейна симетрала, както и обратното твърдение симетрала на хода е инцидентна с центъра на същата окръжност - FG ⊥ AB;

две равни хорди отстоят на равно разстояние от центъра на същата окръжност;

ако в окръжност има равни хорди, то отсечените от тях дъги са равни, както и равенство между лицата на отсечените централни сектори и съответни им сегменти;

допирателна към окръжност е перпендикулярна на радиус в точката на допиране;

съществува равенство на отсечките от двойка допирателни с обща точка външна за окръжността;

Ако пресечната точка на две хорди е вътрешна за същата окръжността, то произведението от дължините на частите на едната хорда е равно на произведението от дължините на частите на другата хорда.

Ако две пресичащи се секущи (продълженията на две хорди се пресичат извън окръжността), то произведението от дължините на външната отсечка и сегмента на едната секуща е равно на произведението от дължините на другата секуща и нейната външна отсечка.

В теорема за допирателна и хорда (tangent-chord theorem, alternate segment theorem) се извежда твърдението: за окръжност вписаният ъгъл между двойка хорди е равен на периферните ъгли между: хордата свързваща противоположния край на двете хорди и допирателните в тези точки.

теорема за степен на точка: втората степен на отсечката PT от допирателна е равна на произведението от дължината на отсечка от секущата PN и нейната част PM между общата точка и окръжността: PT*PT = PM*PN - в случая MN е хорда от окръжността.

В задачата хорди и дъги се разглежда триъгълник ABC, описана окръжност (център т.О), диаметър FG, вписана окръжност (център т.Q), хорди AK, BM инцидентни с т.Q, полувписана окръжност (център т.P) и допирни точки I, J, T, хорди KT, ED инцидентни с допирните точки. Извежда се нагледно доказателство за равенство на дъгите AF = BF, EM = DK и равенство на отсичащите ги хорди.

Алгоритъмът на построителната задача хорди и дъги съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки за върхове на референтния триъгълник АВС;

изчисляват се координати за център т.О (пресечна точка на симетралите), дължина на радиус и се построява описана окръжност;

построява се хорда GF, диаметър в описаната окръжност и симетрала на страната AB - пресечна т.H = AB x GF;

образуваният делтоид AGBC може да бъде разглеждан като съставен от правоъгълните триъгълници: ∆AHF ≅  ∆BHF,  ∆AHG ≅ ∆ BHG, ∆AGF ≅ ∆BGF или от равнобедрените триъгълници  ∆ AGB (AG=BF),  ∆ ABF (AF=BF)

последователно се съставят уравненията на вътрешните ъглополовящи и се изчисляват пресечните им точки K, M с описаната окръжност;

последователно се построяват хордите в описаната окръжност AK, BM и вътрешни ъглополовящи на триъгълника;

построява се хорда KM;

изчисляват се координати за център т.Q = AK x BM, изчислява се дължина на радиус и се построява вписана окръжност;

изчисляват се координати за център т.Р, дължина на радиус и се построява полувписана окръжност;

изчисляват се координати на точка T - допирна точка между полувписана и описана окръжност;

последователно се изчисляват координати на точки I,J - допирни точки на полувписаната окръжност към страните на референтния триъгълник;

последователно се изчисляват координати на точки D, E -  пресечни точки на описаната окръжност с продълженията на отсечката IJ свързваща допирните точки на полувписаната окръжност със страните на референтния триъгълник;

построява се хорда DE;

последователно се построяват хорди DK, EM (бедра), DM, EK (диагонали) елементи от равнобедрения трапец EDKM;

построява се отсечка свързваща среда на хордите ED, MK;

Доказателство че хордите ED, MK са успоредни може да се изведе чрез подобие на триъгълниците ITJ и KTM. В случая е ползвана теорема на Щайнер (Steiner theorem): в трапец, пресечната точка на диагоналите (KE, MD), средите на основите и пресечната точка на бедрата лежат на една права.

построява се хорда TF - тя разполовява отсечка IJ (теорема на Вериер) и хорда KM;

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: хорда и допирателна, хорди и допирни точки, хорди и равни ъгли.