четириъгълник и перпендикуляри

В задачата четириъгълник и перпендикуляри се разглежда бицентричен четириъгълник. Построени са отсечки свързващи допирните точки между вписаната окръжност и двете двойки срещулежащи страни на четириъгълника. Извежда се нагледно доказателство за перпендикулярност на отсечките.

Едновременно вписан и описан четириъгълник е наричан и бицентричен четириъгълник (bicentric quadrilateral).  Един изпъкнал четириъгълник може да е едновременно вписан и описан четириъгълник, ако се изпълняват условията: е равенство на сумите от двете двойки срещулежащи ъгли (НДУ за вписан четириъгълник) и едновременно с това равни суми от дължини на двете двойки срещулежащи страни (НДУ за описан четириъгълник от теорема на Питот).

Четириъгълник с такива свойства може да бъде: квадрат, правоъгълен делтоид, равнобедрен трапец с равни суми от дължини на срещулежащи страни.

За реализиране на нагледното доказателство може изцяло да се ползва алгоритъмът представен във вписан и описан четириъгълник

Алгоритъмът на построителната задача четириъгълник и перпендикуляри съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C;

изчислява се дължина на отсечката AB;

изчислява се ъгъл на наклон за отсечката BC;

извършва се корекция за координати на т.C  - променя се дължина на отсечката BC така че BC = AB като се запазва вече изчисления ъгъл;

в т.A се построява права перпендикулярна на AB;

в т.C се построява права перпендикулярна на BC;

изчисляват се координати на пресечната точка т.D между двете прави;

построява се правоъгълния делтоид ABCD;

изчисляват се координати за център и дължина на радиус за описана окръжност - от теорема на Талес;

построяват се ъглополовящи на ъглите ∢BAD, ∢BCD;

изчисляват се координати на тяхната пресечна точка т.Q - точката принадлежи на диагонала BD от свойство на делтоид;

в цикъл се построяват перпендикуляри към страните на делтоида - отсечки QI, QJ, QK, QL всички те с конгруентна дължина, съответстваща на радиус на вписаната окръжност;

построяват се отсечки KI, LJ свързващи допирните точки - тяхната пресечна точка т.T е инцидентна с диагонала BD;

изчисляват се дължини на отсечките IT, KT, JT, LT, IJ, KJ, KL, LI и чрез теорема на Питагор се доказва перпендикулярност на двете отсечки KI ⊥ LJ - основно твърдение в задачата четириъгълник и перпендикуляри.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: ортодиагонален четириъгълник и maltitude, ъглополовящи и вписан четириъгълник.