хорда и допирателна

В задачата хорда и допирателна се разглежда правоъгълен трапец ABCD (AB || CD) имащ равни дължини на основа и бедро AB = AD. Построена е окръжност с център т.А, радиус R = AB и допирателна t ⊥ AB.  Допирателната е инцидентна с бедрото BC и височина на трапеца. Диагоналът на трапеца BD е хорда в окръжността. Построена е височина AH ⊥ BD в равнобедрения триъгълник BDA. Извежда се нагледно доказателство за равенството:

BD² = 2*AB*CD  

Построяването на окръжността, допирателната и височината AH са елемент на доказателството.

Алгоритъмът на построителната задача хорда и допирателна съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, D;

изчислява се ъгъл на наклон за AD;

изчислява се дължина на радиус R = AB - по алгоритъм разстояние между две точки;

построява се окръжност с център т.А и радиус R;

преизчисляват се координатите на т.D като се запазва изчисления ъгъл на наклон;

в т.B се построява допирателна t към окръжността - AB ⊥ t по алгоритъм перпендикуляр към права в дадена точка;

изчисляват се координати на т.С, така че CD || AB, CD ⊥ t;

последователно се изчисляват дължини на отсечките BC, CD;

Изчислените дължини се заместват в двете части на формулата. Получаването на конгруентни стойности е и доказателство на основното твърдение в задачата хорда и допирателна.

Очевидно задачата е от множеството задачи за пропорционални отсечки и е подходяща за преговор. Доказателство може да бъде изведено чрез подобни правоъгълни триъгълници.

Триъгълникът BAD е равнобедрен и височината AH е едновременно ъглополовяща и медиана. Така ▲AHD ≅ ▲AHB са еднакви по трети признак - ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

∢BAD = 2*∢CBD - централен и периферен ъгъл отсичащи една и съща дъга. Двата правоъгълни триъгълника BCD и AHB са подобни - ако в правоъгълен триъгълник остър ъгъл от единия е равен на остър ъгъл от другия.

BD/AB = CD/BH

BD*BH = AB*CD

BD*BD/2 = AB*CD

BD² = 2*AB*CD

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за:  пропорционални отсечки, теорема за допирателна и хорда, хорди и допирни точки, хорди и дъги, хорди и равни ъгли.