пресичащи се окръжности

В задачата пресичащи се окръжности се разглеждат две окръжности u(O, OA) и v(Q, QB). Построени са техните външни допирателни, инцидентни съответно с точки A-B и C-D. От средата на отсечката AB са построени отсечки DE, DC - секущи на двете окръжности. Извежда се нагледно доказателство, че точки I, J, C, D са коциклични точки.

Общи положения на две окръжности:

А) Без обща точка:

Вариант 1: вписани окръжности с междуцентрово разстояние по-малко от разликата между радиус и диаметър на съответните окръжности. Частен случай са двойка концентрични окръжности.

Вариант 2: за чертежа това са окръжностите u, v. Трябва да бъде изпълнено условието: между центровото разстояние е по-голямо от сумата на двата радиуса OQ > OA + QB. Съществува възможност за двойка външни допирателни - на чертежа прави u, w. Съществува възможност за двойка вътрешни допирателни.

Б) Една обща точка - допиращи се окръжности:

Вариант 1: вътрешно допиращи се окръжности с между центрово разстояние равно на разликата между двата радиуса. Съществува една допирателна инцидентна с общата допирна точка.

Вариант 2: външно допиращи се окръжности с между центрово разстояние равно на сумата между двата радиуса.Съществува възможност за двойка външни допирателни. Съществува една вътрешна допирателна инцидентна с допирната точка.

В) Две общи точки - пресичащи се окръжности.

Вариант 1: центърът на малката окръжност принадлежи на голямата окръжност и между центрово разстояние е по-голямо от разликата между двата радиуса. Пример за това е Луната с голяма окръжност огряната част и малка окръжност сянката на Земята.

Вариант 2: центърът на малката окръжност не принадлежи на голямата окръжност и между центрово разстояние по-малко от сумата на двата радиуса.

На чертежа това са двойките окръжности: u-w и v-w. Изпълнени са условията за интервал: между центровото разстояние е по-малко от сумата на двата радиуса.

Характерни особености за двойка пресичащи се окръжности:

за окръжностите съществува двойка външни допирателни;

правата инцидентна с центъра на всяка от двете двойки окръжности е симетрала на отсечката свързваща техните пресечни точки: (симетрала) OT ⊥ DI (обща хорда),  както и QT ⊥ JC;

за двойката пресичащи се окръжности центъра и пресечните им точки са върхове на делтоид. За чертежа това са ODTI, QCTJ. Твърдението е следствие от определението за окръжност: множество точки равно отдалечени от обща точка наречена център.

Алгоритъмът построителната задача пресичащи се окръжности съдържа следните стъпки:

посочват се две двойки точки за върхове на самопресичащ се четириъгълник с не непременно с равни страни - за чертежа само точките O, Q са с оригиналните координати;

всяка от двойките точки определя координати за център и дължина на радиус;

извършва се проверка на условие за съществуване на окръжности без обща точка;

при изпълняване на условието алгоритъмът продължава;

последователно се построяват две окръжности без обща точка u(O, OA) и v(Q, QB);

конструиране на външни допирателни;

последователно се изчисляват координати за допирните точки A, B, C, D - по алгоритъм описан във външна допирателна;

последователно се построяват двойка външни допирателни - прави u, v;

изчисляват се координати на т.Е среда на отсечката АВ;

последователно се построяват отсечките DE и CE;

последователно се изчисляват координати за пресечните точки I, J - по алгоритъм представен в секуща;

по произволна комбинация на 3 от точките C, D, I, J се построява окръжност доказателство за основното твърдение в задачата пресичащи се окръжности.

Сходни задачи:

Алгоритъм на построителна задача за построяване на две взаимно пресичащи се окръжности по дадени линейни размери е представен в – радиуси и дължина на обща хорда.

В задачата правоъгълник и окръжности се разглежда вписан четириъгълник ABCD, описаната окръжност и 4 допълнителни окръжности за всяка от страните на референтния четириъгълник. Извежда се нагледно доказателство: едната група пресечни точки, между допълнителните окръжности, са върхове на правоъгълник KLMN.

Ако в триъгълник се построят: окръжност инцидентна с ортоцентър, медицентър, център на вписана окръжност, както и група от 3 окръжности - всяка инцидентна с връх на триъгълник и пети на съответните две височини се получават 4 конкурентни окръжности.

Ако в триъгълник се построят група от 3 окръжности - всяка инцидентна с връх на триъгълник и пети на съответните две медиани се получават 3 конкурентни окръжности с пресечна точка имаща конгруентни координати с центъра на описаната окръжност около референтния триъгълник.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: точка на Чева и конкурентни окръжности, пресечни и коциклични точки.