Всяко алгебрично уравнение с цели или рационални коефициенти, чийто решения се търсят предимно в множеството на целите числа се нарича диофантово уравнение. Особеното при този вид уравнения (и системите от такива уравнения) е, че броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията.в тях. Наречени са в чест на древногръцки математик Диофант от Александрия. Такива уравнения се срещат в основния му труд “Аритметика”.
Два са определящите фактори за сложността при решаване на подобен тип системи уравнения: броят на неизвестните величини и най-високата степен на неизвестното в системата от уравнения.
Линейно диофантово уравнение от вида: Ax + By = C има решение в областта на целите числа, ако най-големият общ делител на коефициентите пред неизвестните (A,B) е делител и на C. Предварително се извършва проверка дали уравнението може да има цели корени – чрез алгоритъм на Евклид се намира най-големия общ делител на коефициентите пред двете неизвестни и след това се проверява дали намерения НОД е делител и на свободния член.
Пример: 4x + 4y = 2 диофантовото уравнение няма решение в множеството на целите числа, но уравнението 4x + 2y = 4 има решение
При ръчно решаване на подобно уравнение може да се търсят корените чрез конкретно свойство на числената стойност на коефициентите. Тук подходът е изчерпващо търсене – проверяват се всички възможности за корени в даден числов интервал. След намиране на едно от възможните решения се извежда и общото решение на конкретното уравнение.
Общото решение на линейно диофантово уравнение може да бъде представено чрез формулите:
X = Xo - (B * t) / NOD
Y = Yo + (A * t) / NOD
където NOD е най-големият общ делител на A,B
t може да приема стойност на цели числа 0,1,2,3...
Да се реализира проект на тема: диофантово уравнение, реализиращ междупредметни връзки Математика и Информатика.
Входни данни са стойности на трите коефициента - коефициентите пред неизвестните и свободния член.
Проектът да генерира случайна стойност за параметъра t [1..11] и да извежда пълното решение на линейното диофантово уравнение за този параметър или съобщение, че няма решение с цели числа.
Пример: 9x + 5y = 9
За коефициентите 9 и 5 е изчислен НОД = 1
Изчисленият НОД на 9 и 5 е делител на 9
Разглежданото диофантово уравнение има решение в областта на целите числа.
открито решение Xо = 1; Yо = 0
X = Xо - (B*t)/NOD = 1 - ( 5 * t )
Y = Yо + (A * t) / NOD = 0 + ( 9 * t )
Извършва се проверка за t = 4:
A*X + B*Y = C;
9 * (-19) + 5 * (36) = 9
-171 + 180 = 9
В задачите диофантово уравнение, както и в уравнения и комбинации от неизвестни най-често търсените неизвестни са цели числа.
Разгледайте други примерни проекти реализиращи междупредметни връзки и/или вътрешнопредметни връзки, за които е ползвана подобна логическа структура на графичните обекти и/или приложени сходни алгоритми. Прочетете допълнителен материал за: уравнения и комбинации от неизвестни, тежест на цифри в число, алгоритъм на Евклид, проба - грешка.