медиана и коциклични точки

В задачата медиана и коциклични точки се разглежда произволен триъгълник ABC и медиана CM. За двата  триъгълника AMC и BMC са построени вписана (център т.1, т.2) и външно вписана окръжност (център т.3, т.4). Извежда се нагледно доказателство, че центъра на 4-те окръжности са коциклични точки.

Алгоритъмът на построителната задача медиана и коциклични точки съдържа следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C;

построява се медиана CM;

в триъгълник AMC се построява вписана окръжност с център т.1;

в триъгълник BMC се построява вписана окръжност с център т.2;

за триъгълника AMC се построява външно вписана окръжност с център т.4;

за триъгълника BMC се построява външно вписана окръжност с център т.3;

двете външно вписани окръжности имат обща допирна точка в частния случай за равнобедрен/равностранен референтен триъгълник;

по произволна комбинация от 3 центъра, чрез  алгоритъм окръжност по 3 точки, се изчислява дължина на радиус R, координати за център т.Q  и се построява търсената окръжност;

чрез алгоритъм разстояние между две точки се изчислява разстоянието между т.Q и 4-тия център.

Получаване на конгруентни стойности между изчисленото разстояние и дължина на радиуса е и доказателство за  основното твърдение в задачата медиана и коциклични точки.

Подобни задачи, ползващи коциклични точки, са:

петите на височини и медиани са коциклични точки инцидентни с 9-точковата окръжност;

теорема на Lester: в произволен разностранен триъгълник точките: център на 9-точкова окръжност, център на описаната окръжност и двете точки на Ферма са коциклични точки;

теорема на Фойербах: 9-точковата окръжност има допирни точки с  вписаната и трите външно вписани окръжности на референтния триъгълник;

точката на Miquel и центровете на свързаните с нея окръжности са също коциклични точки.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва подобна логическа структура на графичните обекти и/или приложени сходни алгоритми. Прочетете допълнителен материал за: коциклични точки, теорема на Фойербах, 9-точкова окръжност, окръжност на Tucker, конкурентни окръжности и коциклични точки, коциклични и колинеарни точки, коциклични точки и ортоцентър.