отсечки в окръжност

В задачата отсечки в окръжност се разглежда отношения между между височина и дължини на страни на страни в равнобедрен триъгълник инцидентен с окръжност. Построена са: окръжност с център т.C и радиус AC, диаметри KJ, EF, секущи AI, KI, равнобедрен триъгълник с основа AB и височина към нея CH. Извежда се нагледно доказателство за равенствата:

CI² = AC² + AI² - 2*AH*AI;

CD² = AC² + AD² - 2*AH*AD;

CI² = BC² + BI² + 2*BH*BI;

Примерно доказателство за първото равенство:

от чертежа: AC = BC = CK = CJ = CF = CE;

за хордата AB е валидно равенството: AH = BH - в равнобедрен триъгълник височина към основата е и нейна медиана;

от чертежа: 

BI = AI - AB = AI - 2*AH;

IJ = CI - CJ = CI - CJ = CI - AC;

IK = IJ + 2*CJ =  IJ + 2*AC =  CI - AC +2*AC  = CI + AC;

от теорема за пресичащи се секущи:  IK * IJ = BI * AI;

(CI + AC)*(CI - AC) = (AI - 2*AH)*AI;

CI² - AC² = AI² - 2*AH*AI;

CI² = AC² + AI² - 2*AH*AI;

Алгоритъмът на построителната задача отсечки в окръжност съдържа следните стъпки:

посочват се координати за три не колинеарни точки A, B, F;

изчисляват се координати за център т.C и дължина на радиус и се построява окръжност инцидентна с точки A, B, F;

построява се равнобедрен триъгълник ABC;

построява се височина CH към основата на триъгълника;

построява се диаметър FE;

изчисляват се кoординати на т.D = AB x FE;

посочват се координати за т.I външна за окръжността и триъгълника ABC;

преизчисляват се координатите на т.I, така че да бъде колинеарна с точки A, D, B;

построява се се секуща KI;

построява се диаметър KJ;

чрез алгоритъм за изчисляване на дистанция - разстояние между две точки последователно се изчисляват дължини на всички отсечки в разглежданите равенства;

изчислените стойности се заместват във всяко от равенствата и се извършва проверка за всяка от формулите;

Получаване на конгруентни стойности е и търсеното доказателство в задачата отсечки в окръжност.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: степен на точка, теорема за пресичащи се хорди, теорема за пресичащи се секущи, коциклични и колинеарни точки.