U11. Derivatives
Contents
Temporalización: 11 horas
Rate of change (tasa de cambio)
Derivative rules (reglas de derivación).
Applications of differentiation (aplicaciones de las derivadas).
Introduction
Main concepts of calculus (in order of appearance)
continuous, limit, one-side limits (implicit), function, asymptotes, graph, differentiable, calculus, derivatives, integrals (also integrate, integration), area, curves, y', derivative of y, dy/dx, product rules, chain rule, area, exponent, reciprocal
Introducción a las derivadas
Este vídeo contiene un error básico. ¿Puedes encontrarlo?
Average Rate of Change
En español: Tasa de Variación Media
You can move the orange points by clicking on this link, and see how the rate changes.
Formal definition of derivative
Given f(x), a functión, f'(a) =
f'(a) = the slope of the tangent line to the function f at x = a.
This is the graph of x²
We have its formula, x², and want to find out the slope of the tangent to the curve at x=1
That is to find out the slope of the tangent line at the point A
In other words, I want to find the slope of that red line.
To find it out precisely we apply the formal definition.
We solve this limit as usual (see Unit 11). The result is 2, as it was expected.
Instead of x=1 we can consider x=a, so we have a general expression for f'(a)=2a
That expresion, written usually as f'(x)=2x is called the derivative function of f(x)=x²
Derivative rules
It would be tedious to calculate derivatives using limits every time we need them, so they have prepared a table with the derivative functions of common functions (see Unit 10) and some general rules that can be easily proved by using limits.
Derivative of common functions, by Math is Fun.
Derivative rules, by Math is fun.
Find a more complete table at symbolab.
Homework Ex. 2 to 8 from page 310
Chain rule ❤️❤️ f[g(x)]’ = f’[g(x)]·g’(x) ❤️❤️
Regla de la cadena [f∘g(x)]’ = f’(g(x))·g’(x)
Remember: (x+1)³ = 1·x³·1⁰ + 3·x²·1¹ + 3·x¹·1² + 1·x⁰·1³ = x³+3x²+3x+1
So, if we want to derive (x+1)³, we can derive x³+3x²+3x+1, what give us 3x²+6x+3
What if we want to derive (4x-5)⁷? It's hard to expand. But it's also the composition of two functions: g(x) = 4x-5 and f(x) = x⁷.
[f∘g(x)] = f(4x-5) = (4x-5)⁷ ⇒ D[(4x-5)⁷] = 7(4x-5)⁶·4 = 28(4x-5)⁶
Other example: f(x)=(3x² -7x + 9)⁵ ⇒ f'(x) = 5(3x²-7x+9)⁴·(3·2x-7) = 5(3x²-7x+9)⁴·(6x-7). We can leave it that way, there's no need to expand it by now.
More examples:
f(x) = sin(3x) ⇒ f'(x) = 3·cos (3x)
← To the left, the chain rule explained by NancyPi, with some examples. She uses a change of variable.
These exercises about chain rule comes from Eddie Woo worksheets.
More exercises: 9, 10, page 326.
applications of derivatives
L'Hôpital's rule
Let's apply that rule to the following limit. Before knowing L'Hôpital's rule, it was impossible for us.
Be careful! Not apply the quotient rule of derivatives. It's just a derivative over another derivative.
Drawing or sketching functions
Follow this steps:
Infinite branches: limits as x→∞
Infinite branches: vertical asymptotes:
Polynomials don't have them;
Rational functions: candidates x=a, being a a zero of the denominator.
Special points: those with horizontal tangent, solutions of f'(x)=0. They can be maxima, minima or inflection points.
Intersection of the function with axis:
OX: solutions of f(x)=0
OY: f(0)
Get all pieces of information together.
Example: let's draw y=x³-3x²+4
1st: infinite branches. The limit as x→-∞ is -∞, so "it comes from down below"
the limit as x→+∞ is +∞, so "it goes up above"
2nd: asymptotes.
It has not, it's a polynomial.
3rd: special points.
Those in which f'(x)=0
They are 0 and 1. There, after calculating f(0) and f(1), we know there is an horizontal tangent line.
4th: joint the information together.
Sometimes it's good to know the points where the curve touches the axis.
Practise; draw the following functions:
y = x³ - 3x + 2
y = x³ - 9x² + 24x - 20
y = x⁵ - 6x³ - 8x - 1
y = x/(1-x²)
y = x⁴ - 8x² + 2
y = (x+2)/(x²-6x+5)
y = x²/(1-x²)
Tangent line
Be it f, the function given by f(x) = ln x². Find out the tangent line to its graph when x=1.
This is the graph of the function. f(1) = 0, so the tangencial point is A(1,0)
We have the point, we need something more (i.e. the slope of the line). See unit 8.
According to the definition of the derivative, m = f'(x1)
Then, x=1 ⇒ y' = 2
Applying the point-slope equation, y - 0 = 2(x - 1), what gives us y = 2x -2 as the solution of our problem.
Graphic solution (not necessary).
Links
Answer key to some activities above
The approximated tangent lines to the red curve at certain points: x=14, the maximum, x=42, x=70.
They allow us to measure the rate of growth of the curve by knowing the slopes of those lines.
As higher is the slope, as higher is the growth; if the slope is negative, it indicates a decreasing. Slope equal to 0 shows the maximum.
Answers to the chain-rule activities.
Soluciones al ejercicio 10 del libro (p. 326)
Soluciones al ejercicio 9 del libro (p. 326)
Saberes básicos implicados en la unidad
A. Sentido numérico.
MATE.1.A.1. Sentido de las operaciones.
MATE.1.A.1.1 Adición y producto escalar de vectores: propiedades y representaciones.
MATE.1.A.1.2 Estrategias para operar (suma, producto, cociente, potencia, radicación y logaritmo) con números reales y complejos: cálculo mental o escrito en los casos sencillos y con herramientas tecnológicas en los casos más complicados.
MATE.1.A.2. Relaciones.
MATE.1.A.2.1 Conjunto de números: números racionales e irracionales. Los números reales. Logaritmos decimales y neperianos. Los números complejos como soluciones de ecuaciones polinómicas que carecen de raíces reales.
MATE.1.A.2.2 Conjunto de vectores: estructura, comprensión y propiedades. Módulo de un vector, coordenada de un vector con respecto a una base, ángulo entre dos vectores y proyección ortogonal.
B. Sentido de la medida.
MATE.1.B.1. Medición.
MATE.1.B.1.1 Cálculo de longitudes y medidas angulares: uso de la trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera medido en grado s o en radianes. Demostración de las identidades trigonométricas. Razones trigonométricas del ángulo suma, el ángulo diferencia, el ángulo doble y el ángulo mitad. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera empleando las principales fórmulas trigonométricas. Aplicación de las razones trigonométricas, el teorema de los senos y el teorema del coseno en la resolución de triángulos y de problemas geométricos de contexto real. Demostración del teorema del seno y del coseno.
MATE.1.B.1.2 La probabilidad como medida de la incertidumbre asociada a fenómenos aleatorios.
MATE.1.B.2. Cambio.
MATE.1.B.2.1 Límites: estimación y cálculo a partir de una tabla, un gráfico o una expresión algebraica. Límite de una función en un punto: cálculo gráfico y analítico. Resolución de indeterminaciones sencillas (0/0, k/0, ∞ - ∞, 1 ∞ ). Límites laterales. Límite de una función en el infinito: cálculo gráfico y analítico . Resolución de indeterminaciones sencillas. Determinación de las asíntotas de una función racional.
MATE.1.B.2.2 Continuidad de funciones: aplicación de límites en el estudio de la co ntinuidad. Estudio de la continuidad de una función, incluyendo funciones definidas a trozos. Tipos de discontinuidades.
MATE.1.B.2.3 Derivada de una función: definición a partir del estudio del cambio en diferentes contextos. Derivación de funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Reglas de derivación de las operaciones elementales con funciones y regla de la cadena. Aplicaciones de las derivadas: ecuación de la recta tangente a una curva en un punto de la misma; obtención de extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Cálculo de derivadas sencillas por definición.
C. Sentido espacial
MATE.1.C.1. Formas geométricas de dos dimensiones.
MATE.1.C.1.1 Objetos geométricos de dos dimensiones: análisis de las propiedades y determinación de sus atributos. Manejo de triángulos, paralelogramos y otras figuras planas.
MATE.1.C.1.2 Resolución de problemas relativos a objetos geométricos en el plano representados con coordenadas cartesianas. Ecuaciones de la recta en el espacio bidimensional. Estudio de la posición relativa de puntos y rectas en el plano. Lugares geométricos: ecuación de la recta mediatriz. Estudio de la simetría en el plano: punto simétrico respecto de otro punto y de una recta; recta simétrica respecto de otra recta. Aplicación de los números complejos para la construcción de polígonos regulares.
MATE.1.C.2. Localización y sistemas de representación.
MATE.1.C.2.1 Relaciones de objetos geométricos en el plano: representación y exploración con ayuda de herramientas digitales.
MATE.1.C.2.2 Expresiones algebraicas de objetos geométricos en el plano: selección de la más adecuada en función de la situación a resolver.
MATE.1.C.3. Visualización, razonamiento y modelización geométrica.
MATE.1.C.3.1 Representación de objetos geométricos en el plano mediante herramientas digitales.
MATE.1.C.3.2 Modelos matemáticos (geométricos, algebraicos, grafos...) en la resolución de problemas en el plano. Conexiones con otras disciplinas y áreas de interés.
MATE.1.C.3.3 Conjeturas geométricas en el plano: validación por medio de la deducción y la demostración de teoremas.
MATE.1.C.3.4 Modelización de la posición y el movimiento de un objeto en el plano mediante vectores.
MATE.1.C.3.5 La geometría en el patrimonio cultural y artístico de Andalucía.
D. Sentido algebraico.
MATE.1.D.1. Patrones. Generalización de patrones en situaciones sencillas.
MATE.1.D.2. Modelo matemático.
MATE.1.D.2.1 Relaciones cuantitativas en situaciones sencillas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.
MATE.1.D.2.2 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas: modelización de situaciones en diversos contextos. MATE.1.D.3. Igualdad y desigualdad. Ecuaciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Inecuaciones polinómicas, racionales y de valor absoluto sencillas. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de Gauss para identificar los tipos de sistemas y resolver sistemas compatibles determinados e indeterminados. Resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales en diferentes contextos.
MATE.1.D.4. Relaciones y funciones.
MATE.1.D.4.1 Análisis, representación gráfica e interpretación de relaciones mediante herramientas tecnológicas. Concepto de función real de variables real: expresión analítica y gráfica. Cálculo gráfico y analítico del dominio de una función.
MATE.1.D.4.2 Propiedades de las distintas clases de funciones, incluyendo, polinómicas, exponenciales, irracionales, racionales sencillas, logarítmicas, trigonométricas y a trozos: comprensión y comparación. Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas y racionales a partir de sus propiedades globales y locales obtenidas empleando las herramientas del análisis matemático (límites y derivadas).
MATE.1.D.4.3 Álgebra simbólica en la representación y explicación de relaciones matemáticas de la ciencia y la tecnología.
MATE.1.D.5. Pensamiento computacional.
MATE.1.D.5.1 Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología empleando herramientas o programas más adecuados.
MATE.1.D.5.2 Comparación de algoritmos alternativos para el mismo problema mediante el razonamiento lógico.
E. Sentido estocástico.
MATE.1.E.1. Organización y análisis de datos
MATE.1.E.1.1 Organización de los datos procedentes de variables bidimensionales: distribución conjunta y distribuciones marginales y condicionadas. Análisis de la dependencia estadística.
MATE.1.E.1.2 Estudio de la relación entre dos variables mediante la regresión lineal y cuadrática: valoración gráfica de la pertinencia del ajuste. Diferencia entre correlación y causalidad.
MATE.1.E.1.3 Coeficientes de correlación lineal y de determinación: cuantificación de la relación lineal, predicción y valoración de su fiabilidad en contextos científicos y tecnológicos.
MATE.1.E.1.4 Calculadora, hoja de cálculo o software específico en el análisis de datos estadísticos.
MATE.1.E.2. Incertidumbre.
MATE.1.E.2.1 Experimentos aleatorios. Revisión del concepto de espacio muestral y del álgebra de sucesos (suceso complementario, unión e intersección de dos sucesos, leyes de Morgan). Estimación de la probabilidad a partir del concepto de frecuencia relativa.
MATE.1.E.2.2 Cálculo de probabilidades en experimentos simples: la regla de Laplace en situaciones de equiprobabilidad y en combinación con diferentes técnicas de recuento. Cálculo de la probabilidad del suceso complementario y de la unión y la intersección de dos sucesos. Probabilidad condicionada. Resolución de problemas que requieran del manejo de los axiomas de la probabilidad de Kolmogorov o del dibujo de diagramas de Venn. Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos: teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Resolución de problemas que requieran del empleo de estos teoremas o del dibujo de diagramas de árbol.
MATE.1.E.3. Inferencia. Análisis de muestras unidimensionales y bidimensionales con herramientas tecnológicas con el fin de emitir juicios y tomar decisiones.
F. Sentido socioafectivo.
MATE.1.F.1. Creencias, actitudes y emociones.
MATE.1.F.1.1 Destrezas de autoconciencia encaminadas a reconocer emociones propias, afrontando eventuales situaciones de estrés y ansiedad en el aprendizaje de las matemáticas.
MATE.1.F.1.2 Tratamiento del error, individual y colectivo, en el aula de matemáticas como elemento movilizador de saberes previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.
MATE.1.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones.
MATE.1.F.2.1 Reconocimiento y aceptación de diversos planteamientos en la resolución de problemas y tareas efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas, transformando los enfoques de las y los demás en nuevas y mejoradas estrategias propias, mostrando empatía y respeto en el proceso.
MATE.1.F.2.2 Técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tareas matemáticas, en equipos heterogéneos.
MATE.1.F.3. Inclusión, respeto y diversidad.
MATE.1.F.3.1 Destrezas para desarrollar una comunicación efectiva, la escucha activa, la formulación de preguntas o solicitud y prestación de ayuda cuando sea necesario.
MATE.1.F.3.2 Valoración de la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a
lo largo de la histo ria en el avance de la ciencia y la tecnología.