U3. Algebra

Temporalización estimada: 15 horas. Examen: 20 de noviembre.

Introduction: Equations not equations

These problems might be funnier than regular equations, but have some questions unsolved, ambiguous. Anyway, if you like this kind of riddles, you can find a lot more here.

1. Factoring polynomials

Videos on this topic:

Introduction to factoring polynomials.
Factoring higher degree polynomials.
Synthetic division of polynomials (Regla de Ruffini).

According to what you have just watch, factorize the following polynomials and find its roots:

P(x)=9x⁴–x²
Q(x)=4x²–28x+49
R(x)=x³+9x²+27x+27
S(x)=2x³–x²–x
T(x)=x⁴–13x²+36
U(x)=x⁴+2x²+1
V(x)=x⁵–4x⁴–10x³+26x²–11x+30; W(x)=3x⁴–15x³+24x²–12x

Solutions (roots): 0, 1/3, -1/3, 7/2, -3, 0, 1, -1/2, 2, -2, 3, -3, 2, -3, -5, 0, 1, 2.

2. Algebraic fractions

Is a fraction made out of polynomials, P(x)/Q(x).

You can simplify algebraic fractions by dividing numerator and denominator by the same term (if that is possible). Otherwise, the fraction is in its simplest form or irreducible.

Two algebraic fractions F and F' are equivalent if F/F' = 1. In other words, you can simplify both to get the same fraction.

The procedure to add, subtract, multiply and divide algebraic fractions is the same than that used with regular, real numbers fractions.

Simplify these algebraic fractions

Are they equivalent

Perform the operations

3. Solving equations (one variable)

Polynomic equations

Just, find the roots of the polynomial as we saw in item 2.

Example: solve the adjacent equations.

For the second group of equations (biquadratic) remember to make the change of variable: x² = y; x⁴ = y².

Solutions (unsorted):

First block: R, -3, no sol.
Second block: -2√2, -2, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 2, 2, 2√2
Third block: -7, -5, -1, -1/2, -1/2, 0, 0, 1/3, 1/2, 1, 7

Equations with algebraic fractions

Get rid of the denominators and solve them as in the first case. To do that you should multiply both terms by the same polynomial (a common multiple of the denominators).
Check the solutions for it could appear false ones (remember the trick 1 = 0)

Equations with roots

Isolate the root.
Raise to the second power.
Repeat it if necessary.
Check the solutions.

Solutions (unsorted):

First block: -3, -2, -1, -3/4.
Second block: 0, 0, 4

Equations where the variable is in the exponent

You should either:

Express both sides of the equation as a power with the same base.
Or use logarithms and their rules to take away the variable from the exponent.
Or use a change of variable.

Solutions (unsorted):

First block: –2, 1, –2, –5, –1, 3
Second block: ≈ -3.30, ≈ 11.15, ≈ 2.45, ≈ –2.71, ≈ –0.38, ≈ –1.07
Third block: –1, –1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2

Equations with logarithms

Just play with the logarithms, their defintions and properties till you get the variable out of the logarithm.

Notice that log a = log b ⇒ a = b, ∀ a, b > 0

Always check the solutions, just in case you get the logarithm of a negative number.

Solutions (unsorted):

First block: –5, 5, 5, 7
Second block: 0, 10^(–9/2), 1, e/2, 2, 5, 6, 10, 116,

4. Systems of linear equations

Types

Types, according their solutions:

The system has infinitely many solutions (compatible indeterminado).
The system has a unique solution (compatible determinado).
The system has no solution (incompatible).

Triangular systems

Those with 3, 2, 1 variables.

5. Gaussian elimination

It consists in turning any system into a triangular one, by doing, in several steps, one of the following operations:

Swapping two rows,
Multiplying a row by a nonzero number,
Adding a multiple of one row to another row.

Solutions (unsorted):

Block 1: (0,1,9), (0,0,0), (1,1,1), (9,6,3).
Block 2: (2,1/2,3/2), (3/2,1/2,2), uno es incompatible, dos son compatibles indeterminados

Example in video by MyWhyU.

Word problems

Resuelve por Gauss el sistema de ecuaciones del inicio de este tema.
Eduvigis ingresó un total de 1240 € la semana pasada por el alquiler de tres pisos. Tuvo que pagar el 10% del alquiler del piso de un dormitorio para reparaciones, el 20% del alquiler del piso de dos dormitorios para reparaciones, y el 30% del alquiler del piso de tres dormitorios para reparaciones. Si el piso de tres dormitorios se alquila por el doble que el piso de un dormitorio y su factura total de reparaciones fue de 276 €, ¿cuál es el alquiler de cada piso?
Para la fiesta de fin de curso, el alumnado de 4º de ESO decidió cobrar entradas en función de la ubicación de la butaca. Se vendieron en total 200 entradas de tres tipos distintos: centradas y cerca del escenario, a 3 €, centradas y lejos del escenario, a 2.5 € y laterales, a 1 €. En total se recaudaron 520 €, habiéndose vendido de las entradas más baratas una cuarta parte de las de un precio medio. Calcula el número de entradas de cada tipo.
Hermógenes invirtió un total de 12000 € en acciones, bonos y un fondo de pensiones. Recibió un rendimiento del 10% en su inversión en acciones, un rendimiento del 8% en su inversión en bonos y un rendimiento del 12% en su fondo de pensiones. Su rendimiento total fue de 1230 €. Si la inversión total en acciones y bonos igualó su inversión en el fondo de pensiones, ¿cuánto invirtió en cada uno?
En un ecosistema de un lago, se están estudiando tres especies de peces: peces A, peces B y peces C. Los biólogos han observado, después de tomar varias muestras, las siguientes relaciones entre las poblaciones de estas especies y el número total de peces en el lago.
1. La población de peces A es igual a la suma de la mitad de la población de peces B y un tercio de la población de peces C.
2. La población de peces B es igual al doble de la población de peces C más 20.
3. La suma de las poblaciones de los peces A, B y C es 1000.

Determina la población de cada especie de pez en el lago.

Temeroso de una quiebra bancaria, Benigna dividió sus ahorros de toda la vida de 60000 euros entre tres bancos. Recibió un 5%, 6% y 7%, respectivamente, en los tres depósitos. En la cuenta que ganaba un 7% de interés, depositó el doble que en la cuenta que ganaba un 5% de interés. Si sus ganancias totales fueron de 3760 €, ¿cuánto depositó en cada cuenta?
Un equipo de desarrollo de videojuegos está trabajando en la creación de tres tipos de personajes: guerreros, magos y arqueros. Para equilibrar el juego, necesitan determinar la cantidad de cada tipo de personaje según las siguientes observaciones:
1. La cantidad de guerreros es el doble de la cantidad de magos.
2. La cantidad de magos es la mitad de la cantidad de arqueros más 30 unidades.
3. La suma total de las cantidades de guerreros, magos y arqueros es 560 personajes.

Determina la cantidad de cada tipo de personaje en el videojuego.

Anacleta, Crescenciano y Hermógenes no quieren decir cuánto pesan, pero aceptan pesarse juntos. Anacleta y Crescenciano juntos pesan 131 kg; Crescenciano y Hermógenes juntos pesan 164; Anacleta y Hermógenes juntos pesan 145 kg. ¿Cuánto pesa cada persona?
La suma de las cifras de un número de tres dígitos es 11. Si las cifras se invierten, el nuevo número es 46 unidades mayor que el quíntuple del número original. Si la cifra de las centenas más el doble de la cifra de las decenas es igual a la cifra de las unidades, ¿cuál es el número?
Al romper la hucha he sacado 50 monedas de 0,5 €, 1 € y 2 € que suman 40 €. Sabiendo que hay la mitad de monedas de 2 € que de 1 €, ¿cuántas monedas hay de cada clase?

Soluciones: (280, 400, 560), (100, 80, 20), (1500, 4500, 6000), (16000, 12000, 32000), (308, 468, 224), (248, 124, 188), (32, 12, 6), (56, 75, 89), (137),

(NO) Inequalities and systems of inequalities with one variable.

(NO) Linear inequalities with two variables.

Links

Can math equations be beautiful?
Words game.
Mathematical fallacies (division by zero).
Bertrand Russell es el Papa.
CalcMe es una herramienta matemática que permite, entre otras cosas, hacer cálculos con polinomios. Algunas notas rápidas sobre su uso:
- Las operaciones básicas se escriben así: +, -, * (para el producto) y / (para la división).
- Las potencias se escriben como en el siguiente ejemplo: para escribir x² tecleamos [x]+[^]+[espacio] +[2 ]. En pantalla aparecerá x^2, pero cuando realicemos algún cálculo en el que esta expresión esté implicada, será considerada como x².
Where do math symbols come from?

Vocabulary

Polynomials, terms, variable, coefficient, divisibility, factorization, equations, quadratic equations, biquadratic equations, gauss elimination

Criterios de evaluación

1.1. Manejar algunas estrategias y herramientas, incluidas las digitales, en la modelización y resolución de problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología, evaluando su eficiencia en cada caso.

1.2. Obtener todas las posibles soluciones matemáticas de problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología, utilizando la estrategia de resolución más apropiada y describiendo el procedimiento utilizado.

2.1. Comprobar la validez matemática de las posibles soluciones de un problema e interpretarlas, utilizando el razonamiento y la argumentación.

Saberes básicos implicados en la unidad

D. Sentido algebraico.

MATE.1.D.2. Modelo matemático.

MATE.1.D.2.2 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas: modelización de situaciones en diversos contextos.

MATE.1.D.3. Igualdad y desigualdad. Ecuaciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Inecuaciones polinómicas, racionales y de valor absoluto sencillas. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de Gauss para identificar los tipos de sistemas y resolver sistemas compatibles determinados e indeterminados. Resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales en diferentes contextos.

F. Sentido socioafectivo.

MATE.1.F.1. Creencias, actitudes y emociones.

MATE.1.F.1.1 Destrezas de autoconciencia encaminadas a reconocer emociones propias, afrontando eventuales situaciones de estrés y ansiedad en el aprendizaje de las matemáticas.

MATE.1.F.1.2 Tratamiento del error, individual y colectivo, en el aula de matemáticas como elemento movilizador de saberes previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.

MATE.1.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones.

MATE.1.F.2.1 Reconocimiento y aceptación de diversos planteamientos en la resolución de problemas y tareas efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas, transformando los enfoques de las y los demás en nuevas y mejoradas estrategias propias, mostrando empatía y respeto en el proceso.

MATE.1.F.2.2 Técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tareas matemáticas, en equipos heterogéneos.

MATE.1.F.3. Inclusión, respeto y diversidad.

MATE.1.F.3.1 Destrezas para desarrollar una comunicación efectiva, la escucha activa, la formulación de preguntas o solicitud y prestación de ayuda cuando sea necesario.

MATE.1.F.3.2 Valoración de la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a lo largo de la historia en el avance de la ciencia y la tecnología.

Preguntas del examen

Factorise one polynomial (≥ 4th degree).
Solve four equations out of the the following types:
1. Biquadratic.
2. Rational (remember to check the solutions).
3. Irrational (remember to check the solutions).
4. Logarithmic (remember to check the solutions).
5. Exponential.
Solve a linear system by Gauss elimination.
NFD problem (in Spanish).

Refuerzo

Hoja de actividades de refuerzo.

Links

Matemagia.

Google Sites

Report abuse